正則量子化

二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。

多粒子态

在二次量子化的表述中，多粒子态简单的以标记每个量子态上有多少个粒子来表示：

$|n_{1},n_{2},n_{3},\cdots \rangle$

即“量子态1上有n₁个粒子，量子态2上有n₂个粒子，量子态3上有n₃个粒子，……”

玻色子的二次量子化

湮灭算符

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle$

产生算符

$a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle$

对易关系

$\left[a_{i},a_{j}\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i},a_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}$

费米子的二次量子化

湮灭算符

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =0$

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle$

产生算符

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle$

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =0$

反对易关系

$\left\{c_{i},c_{j}\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i},c_{j}^{\dagger }\right\}=\delta _{ij}$

参见

• 量子场论