等价类

在数学中，假設在一个集合$X$上定義一个等价关系（用$\sim$來表示），则$X$中的某個元素$a$的等价类就是在$X$中等价于$a$的所有元素所形成的子集:

$[a]=\{x\in X|x\sim a\}$。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在$X$中的给定等价关系$\sim$的所有等价类的集合表示为$X/\sim$并叫做$X$除以$\sim$的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果$X$是有限的并且等价类都是等势的，则$X/\sim$的序是$X$的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合$X$。

对于任何等价关系，都有从$X$到$X/\sim$的一个规范投影映射$\pi$，给出为$\pi (x)=[x]$。这个映射总是满射的。在$X$有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从$a$到$[a]$的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果$X$是轿车的集合，而$\sim$ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。$X/\sim$ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
• 考虑在整数集合$\mathbb {Z}$上的“模$2$” ﹝見同餘﹞等价关系: $x\sim y$当且仅当$x-y$是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: $[0]$由所有偶数组成，$[1]$由所有奇数组成。在这个关系下$[7],[9]$和$[1]$都表示$\mathbb {Z} /\sim$的同一个元素。
• 有理数可以构造为整数的有序对 $(a,b)$的等价类的集合，$b$不能为零，这里的等价关系定义为

$(a,b)\sim (c,d)$当且仅当$ad=bc$。

这里的有序对 $(a,b)$的等价类可以被认同于有理数$a/b$。

• 任何函数$f:X\rightarrow Y$定义在X上的等价关系，通过$x_{1}\sim x_{2}$ 当且仅当$f(x_{1})=f(x_{2})$。$x$的等价类是在$X$中被映射到$f(x)$的所有元素的集合，就是说，类$[x]$是$f(x)$的逆像。这个等价关系叫做$f$的核。
• 给定群$G$和子群$H$，我们可以定义在$G$上的等价关系，通过$x\sim y$当且仅当$xy^{-1}\in H$。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是$H$自身。它们都有同样数目的元素（在无限$H$的情况下是势）。如果$H$是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
• 连续映射$f$的同伦类是所有同伦于$f$的所有映射的等价类。
• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的a在[a]中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成X的划分：所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。

它还得出等价关系的性质

a ~ b当且仅当[a] = [b]。

如果~是在X上的等价关系，而P(x)是x的元素的一个性质，使得只要x ~ y, P(x)为真如果P(y)为真，则性质P被称为良好定义的或在关系~下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x₁ ~ x₂蕴涵f(x₁) = f(x₂)则f被称为在~下恒定的类，或简单称为在~下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

• 等价关系