質數定理

在數論中，素数定理描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦·莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}$

其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)$，當x 趨近∞。

其中${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}$（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

敘述

定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 ${\frac {x}{\ln x}}$ 的比值趨近 1。其數學式寫做

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1$。

淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 ${\frac {x}{\ln x}}$。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$。

注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限，$\pi (x)$ 與 ${\frac {x}{\ln x}}$的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限，$\pi (x)$ 與 ${\frac {x}{\ln x}}$的相對誤差趨近於 0。

關於 π(x)、x / ln x 和 li(x) 的數值

下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

$x$	${\boldsymbol {\pi }}(x)$	${\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}}$	${\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{\frac {x}{\ln x}}}$	${\rm {Li}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x)$	${\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}}$
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	1.018	55,160,980,939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

素数定理可以給出第n個素数p（n）的漸近估計：

$p(n)\sim n\ln \,n.$

它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素数的概率大約是1/ln n。

歷史

這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦·莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)$

至於大O項的常數則還未知道。

初等證明

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

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