全微分：修订间差异

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2019年5月20日 (一) 05:50的版本

全微分（英語：total derivative）是多變數微积分的一个概念基本上就代表多元函數的微分，多變量函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上。其意義為多元函数的變化量的线性逼近。例如，对于二元函数 $f(x,\ y)$ ，设 f 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的某个邻域内有定义， $(x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)$ 为该邻域内的任意一点，则该函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的變化量 $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},\ y_{0})$ 可表示为

\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )

，

其中 $A$ ， $B$ 皆為常數且仅与 $x$ ， $y$ 有关，而与 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 无关， $\rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$ 。若 $o(\rho )$ 是当 $\rho \rightarrow 0$ 时的高阶无穷小，则称此函数 $f$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 可微分，而矩陣(或向量) $(A,B)$ 即为函数 $f$ 在 $(x_{0},\ y_{0})$ 的全微分也簡稱微分，记作

Df|_{(x_{0},y_{0})}=(A,B)

或 $f'(x_{0},y_{0})=(A,B)$ 。

存在条件

全微分繼承了部分一元函数實函數（定義域和值域為實數的函數）的微分所具有的性質，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理。

充分条件

一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的某邻域内的偏导数 $f_{x}(x_{0},\ y_{0})$ 与 $f_{y}(x_{0},\ y_{0})$ 存在，且偏导函数 $f_{x}(x,\ y)$ 与 $f_{y}(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 都连续，则此函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 可微。需要注意的是，此条件并非充要条件，存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证 $\lim _{\rho \to 0}{\frac {\Delta z-[f_{x}(x_{0},\ y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},\ y_{0})\Delta y]}{\rho }}=0$ 是否成立。

必要条件

一个多元函数在某点的全微分存在的必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点必连续。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 可微，则此函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 必连续。

全微分存在另一个必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点的全微分可表示为各自变量的变化量与该自变量在该点的偏导数之积的和。

对于二元函数，此定理可表述为：二元函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 可微，则此函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的全微分为

\operatorname {d} z|_{(x_{0},\ y_{0})}=f_{x}(x_{0},\ y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},\ y_{0})\Delta y

。

参见

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 {{微積分學}}
-'''全微分'''（{{lang-en|total derivative}}）是多變數[[微积分]]的一个概念基本上就代表多元函數的微分，多變量函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上。其意義為[[多元函数]]的變化量<math>\Delta z</math>的线性逼近。例如，对于[[二元函数]]<math>z=f(x,\ y)</math>，设f在[[点]] <math>(x_0,\ y_0)</math>的某个[[邻域]]内有定义，<math>(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)</math>为该邻域内的任意一点，则该函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>的變化量 <math> \Delta z=P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y) - P_0(x_0,\ y_0)</math> 可表示为
+'''全微分'''（{{lang-en|total derivative}}）是多變數[[微积分]]的一个概念基本上就代表多元函數的微分，多變量函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。全微分可以看成是把單變數函數的微分推廣到多變數函數上。其意義為[[多元函数]]的變化量的线性逼近。例如，对于[[二元函数]] <math>f(x,\ y)</math>，设 ''f'' 在[[点]] <math>(x_0,\ y_0)</math>的某个[[邻域]]内有定义，<math>(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)</math>为该邻域内的任意一点，则该函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>的變化量 <math> \Delta f=f(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y) - f(x_0,\ y_0)</math> 可表示为
-:<math>\Delta z = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)</math>，
+:<math>\Delta f = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)</math>，
-其中<math>A</math>，<math>B</math> 皆為常數且仅与<math>x</math>，<math>y</math>有关，而与<math>\Delta x</math>，<math>\Delta y</math>无关，<math>\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}</math>。若<math>o(\rho)</math>是当<math>\rho \rightarrow 0</math>时的[[高阶无穷小]]，则称此[[函数]] <math>f</math> 在点 <math>(x_0,y_0)</math>可[[微分]]，而矩陣(或向量)<math>(A, B)</math> 即为函数 <math>f</math> 在 <math>(x_0,\ y_0)</math> 的全微分，记作
+其中<math>A</math>，<math>B</math> 皆為常數且仅与<math>x</math>，<math>y</math>有关，而与<math>\Delta x</math>，<math>\Delta y</math>无关，<math>\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}</math>。若<math>o(\rho)</math>是当<math>\rho \rightarrow 0</math>时的[[高阶无穷小]]，则称此[[函数]] <math>f</math> 在点 <math>(x_0,y_0)</math>可[[微分]]，而矩陣(或向量)<math>(A, B)</math> 即为函数 <math>f</math> 在 <math>(x_0,\ y_0)</math> 的'''全微分'''也簡稱'''微分'''，记作
 :<math>Df|_{(x_0,y_0)} = (A,B)</math>