施拉姆-勒夫纳演进

在概率论中，Schramm–Loewner演变（SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模特的缩放极限。

应用

• Uniform spanning tree, Loop erased random walk
• Schramm–Loewner进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
• 统计力学模型
• 马尔可夫性质
• 伊藤微积分
• 共形场论

Loewner演变

• D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
• γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
• $D_{t}=D-\gamma ([0,t])$
• 因为$D_{t}$是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
• $f:D_{t}\to D$是同构。
• $g(f(z))=z$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。

根据Loewner (1923，p. 121)，Loewner方程是

${\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}$

${\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.$

$\zeta ,\gamma$的关系是

$f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))$

Schramm–Loewner演变

SL演变是一个Loewner方程，有下面的驱动函数

$\zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)$

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。

例如

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
• 若4 < κ < 8，γ(t) 与自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲线是Loop-erased random walk。
• κ = 8：皮亚诺曲线
• 若 κ = 8/3，有人猜想这个SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型边界的极限
• κ = 4：高斯自由场，harmonic explorer (2005),
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米尔诺夫证明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限，计算临界指数；证明渗流的共形不变性Smirnov (2001)，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

属性

若SLE描述共形场论，central charge c等于

$c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.$

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE₆ 证明Mandelbrot (1982)的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是

$d=1+{\frac {\kappa }{8}}.$

模拟

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution

阅读

• Beffara, Vincent, The dimension of the SLE curves, The Annals of Probability, 2008, 36 (4): 1421–1452, MR 2435854, arXiv:math/0211322 , doi:10.1214/07-AOP364 
• Cardy, John, SLE for theoretical physicists, Annals of Physics, 2005, 318 (1): 81–118, Bibcode:2005AnPhy.318...81C, arXiv:cond-mat/0503313 , doi:10.1016/j.aop.2005.04.001 
• Hazewinkel, Michiel (编), 施拉姆-勒夫纳演进, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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• Kager, Wouter; Nienhuis, Bernard, A Guide to Stochastic Loewner Evolution and its Applications, J. Stat. Phys., 2004, 115 (5/6): 1149–1229, Bibcode:2004JSP...115.1149K, arXiv:math-ph/0312056 , doi:10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be 
• Lawler, Gregory F., An introduction to the stochastic Loewner evolution, Kaimanovich, Vadim A. (编), Random walks and geometry, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin: 261–293, 2004, ISBN 978-3-11-017237-9, MR 2087784, （原始内容存档于September 18, 2009） 
• Lawler, Gregory F., Conformally invariant processes in the plane, Mathematical Surveys and Monographs 114, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005, ISBN 978-0-8218-3677-4, MR 2129588 
• 未填写信息。中文维基百科没有机器人自动填写相关信息。arXiv：[1]。
• Lawler, Gregory F., Stochastic Loewner Evolution 
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• Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin, The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3, Mathematical Research Letters, 2001, 8 (4): 401–411, MR 1849257, arXiv:math/0010165 , doi:10.4310/mrl.2001.v8.n4.a1 
• Loewner, C., Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I (PDF), Math. Ann., 1923, 89 (1–2): 103–121, JFM 49.0714.01, doi:10.1007/BF01448091 
• Mandelbrot, Benoît, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982, ISBN 978-0-7167-1186-5 
• Norris, J. R., Introduction to Schramm–Loewner evolutions (PDF), 2010 
• Pommerenke, Christian, Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher 15, Vandenhoeck & Ruprecht, 1975  (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
• Schramm, Oded, Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees, Israel Journal of Mathematics, 2000, 118: 221–288, MR 1776084, arXiv:math.PR/9904022 , doi:10.1007/BF02803524  Schramm's original paper, introducing SLE
• Schramm, Oded, Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems, International Congress of Mathematicians. Vol. I, Eur. Math. Soc., Zürich: 513–543, 2007, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2334202, arXiv:math/0602151 , doi:10.4171/022-1/20 
• Werner, Wendelin, Random planar curves and Schramm–Loewner evolutions, Lectures on probability theory and statistics, Lecture Notes in Math. 1840, Berlin, New York: Springer-Verlag: 107–195, 2004, ISBN 978-3-540-21316-1, MR 2079672, arXiv:math.PR/0303354 , doi:10.1007/b96719 
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