杨辉三角形

帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle)

法国物理学家和数学家 布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)于1652年发现该图表，用于解决几率相关的问题。

中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自宋代贾宪（大约公元十一世纪左右）《释锁算术》，所以在中国习惯称之为杨辉三角形。

帕斯卡三角形同时对应于二项式定理的系数。

n次的二项式系数对应帕斯卡三角形的n+1行。 例如$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2次的二项式正好对应帕斯卡三角形第3行系数 1 2 1。

这里是帕斯卡三角形的14行。

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

帕斯卡三角形性质：

1.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。

2.第n行的数字个数为n个

3.第n行数字和为$2^{n-1}$

4.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。(因为$C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$)。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。