第67行：
第67行：
'''同痕（Isotopy）'''是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數<math>f \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 和 <math>g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 是[[嵌入]]，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
'''同痕（Isotopy）'''是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數<math>f \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 和 <math>g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 是[[嵌入]]，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如次：<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math>被稱為同痕的，若且唯若存在''連續''映射<math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math>使之滿足：
定義如此 ：<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math>被稱為同痕的，若且唯若存在''連續''映射<math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math>使之滿足：
* <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
* <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
* <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>
* <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>
图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。 同伦 （英語：homotopic ，源自希臘語 ：ὁμός homós ，意为“相同，相似的”与希臘語 ：τόπος tópos ，意为“方位”）。在數學中，同倫的概念在拓撲 上描述了兩個對象間的「連續變化」。
在拓扑学 中，两个定义在拓扑空间 之间的连续函数 ，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的 。这样的形变称为两个函数之间的同伦 。同伦的一个重要的应用是同倫群 和上同伦群 代数拓扑 中重要的不变量
事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间 、CW复形 或谱
两个将环面 映射到R 3 的嵌入 之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕 的例子。 給定兩個拓撲空間
X
{\displaystyle X\,\!}
Y
{\displaystyle Y\,\!}
連續函數
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續 映射
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}
則稱
H
{\displaystyle H}
f
,
g
{\displaystyle f,\,g}
[ 1] :183 。
如果我们将 H 的第二个参数 当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变 ：0 时刻我们得到函数f ，1 时刻我们得到函数 g 。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g ，反之亦然。
另一種觀點是：對每個
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,\!}
H
{\displaystyle H\,\!}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\,\!}
γ
x
:
[
0
,
1
]
→
Y
,
t
↦
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}
右侧的循环动画展示了两个嵌入R 3 X 是环面，Y 是 R 3 f，g 是从环面到
R 3 的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht (x )作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g 时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系 [ 1] :184 。以下情形中，同伦关系满足函数的复合 ：
如果 f 1 , g 1 : X → Y f 2 , g 2 : Y → Z f 2 ∘ f 1 g 2 ∘ g 1 : X → Z
例一 ：取
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1\,\!}
g
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle g(x)=-1\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
Y
{\displaystyle Y\,\!}
H
(
x
,
t
)
=
1
−
2
t
{\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}
（注意到此例子不依賴於變數
x
{\displaystyle x}
註 ：「在
Y
{\displaystyle Y}
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}
Y
′
=
R
∗
{\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
Y
′
{\displaystyle Y'\,\!}
中間值定理 驗證。例二 ：取
X
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle X=[0,1]\,\!}
Y
=
C
{\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}
f
(
x
)
=
e
2
i
π
x
{\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
H
(
x
,
t
)
=
(
1
−
t
)
e
2
i
π
x
{\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}
幾何上來看，對每個值
t
{\displaystyle t\,\!}
h
t
(
x
)
=
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}
1
−
t
{\displaystyle 1-t}
為定義高階基本群 ，必須考慮相對於一個子空間 的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}
K
⊂
X
{\displaystyle K\subset X}
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}
∀
k
∈
K
H
(
k
,
t
)
=
f
(
k
)
=
g
(
k
)
{\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}
則稱
f
,
g
{\displaystyle f,g}
K
{\displaystyle K}
K
=
∅
{\displaystyle K=\emptyset }
給定兩個拓撲空間
E
{\displaystyle E\,\!}
F
{\displaystyle F\,\!}
同倫等價 （或稱具相同倫型 ），当且仅当存在兩個連續映射
f
:
E
→
F
{\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}
g
:
F
→
E
{\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f\,\!}
E
{\displaystyle E\,\!}
i
d
E
{\displaystyle \mathrm {id} _{E}}
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g\,\!}
F
{\displaystyle F\,\!}
i
d
F
{\displaystyle \mathrm {id} _{F}}
同胚 蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：
例三 ：
一個平面上的圓或橢圓同倫等價到
C
∗
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}
線段
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,\!}
同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學 裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通 、同調群 及上同調群 等等。
同痕（Isotopy） 是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
g
:
X
→
Y
{\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}
嵌入 ，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如此：
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
連續 映射
H
:
X
×
[
0
,
1
]
→
Y
{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}
∀
x
∈
X
,
H
(
x
,
1
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}
對所有
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}
h
t
(
x
)
=
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}
同痕的概念在紐結理論 中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
^ 1.0 1.1 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用 . 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091OCLC 644064114 
![{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6eaaf371098cbea149a9d014a7a5d97bf51ac9)
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
![{\displaystyle X=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f82953ec31abffd4534cf62f2a095afa901c0)
![{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ca2cdbab407ef356b8c3b1ea0a39d6f1965fd)
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
![{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/181fb92391d7ecbc8467b084d915c2877e36af52)
