双射

双射，也称之为双射函数或者一一对应，在数学中为一个既是单射也是满射的函数，因此也称之为“一一对应到”。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）

更加形式地，一个函数$f:X\rightarrow Y$为一个双射，当且仅当陪域$Y$中的每一个$y$都有正好一个定义域$X$中的$x$满足$f(x)=y$。

File:BijMap.png 雙射（單射與滿射）	File:Mathmap.png 單射但非滿射
File:OntoMap.png 滿射但非滿射	File:Mathmap2.png 非滿射非單射

如果$X,Y$皆为实数$\mathbb {R}$，则双射函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）

如果$X,Y$皆为有限集合，则这两个集合中$X,Y$之间存在一个双射，当且仅当X和Y的元素数相等。其实，在公理集合论中，元素数相同的定义被认为是个特例，一般化这个定义到无限集合需要导入基数的概念，这是一个区别各类不同大小的无限集合的方法。

例子和反例

1. 考虑函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，定义为$f(x)=2x+1$。这个函数是双射，因为给定任意一个实数$y$，我们都能解$y=2x+1$，得到唯一的实数解$x=(y-1)/2$。
2. 另外的，函数$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，定义为$f(x)=x^{2}$，这个函数不是双射。这其中有两个实质性的原因。首先，我们有$g(1)=1=g(-1)$，因此$g$不是单射；其次，不存在一个实数$x$满足$x^{2}=-1$，所以$g$也不是满射。不管其中的哪个原因，都足够说明$g$不是双射。
3. 但是如果我们用与$g$同样的式子定义函数$h:[0,\infty ]\rightarrow [0,\infty ]$，而且定义域和陪域都限制到非负实数，则这个函数$h$是双射。这是因为，给定任意的非负实数，我们可以解出$y=x^{2}$，得到唯一的非负实数解$x={\sqrt {y}}$。

性质

• 函数$f:X\rightarrow Y$是双射当且仅当存在一个函数$g:Y\rightarrow X$满足$g\circ f$是一个定义在$X$上的单位函数并且$f\circ g$ 是一个定义在$Y$上的单位函数。当用$f$可以唯一确定$g$的时候，我们称$g$为$f$的反函数，写作$f^{-1}=g$。更进一步说，这里的$g$也是双射，而且$g$的反函数为$f$。
• 如果$f\circ g$是双射，则$f$为双射，$g$为单射。
• 如果$f$和$g$皆为双射，则$f\circ g$也是双射。
• 如果$X$是一个集合，则从$X$到它自己的一个双射函数，随同函数复合运算$(\circ )$，构成一个群，$X$的对称群，可以用$S(X)$，$S_{X}$，或者$X!$等诸多方法来表示。

相关条目

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