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四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:
- 其中
本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。
四次方程的解法
数学家们为了解开四次方程——确切地说,找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样,有时可以对四次方程进行因式分解;但高次幂下的因式分解往往非常困难,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解(就像二次方程的求根公式那样, 能解所有的一元二次方程)意义重大。经过诸多研究后,数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,求根公式止步于四次方程,更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程,需要一种更为有效的方式来求解。
由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根,可以使用试错法,该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出,前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程,通过牛顿法等數值方法,可以轻易得到任意次方程的實數(數值)解。
求根公式
特殊情况
名义上的四次方程
如果,那么其中一个根为,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,
双二次方程
四次方程式中若 和 均為 者有下列形态:
因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 ,我們的方程式便成為:
這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:
當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到 的值:
若任何一個 的值為負數或複數,那麼一些 的值便是複數。
费拉里的方法
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以
第一步:消除 列。为了做到这一步,先把变量变成,其中
- .
将变量替换:
展开后变成:
整理后变成以u为变量的表达式
现在改变表达式的系数,为
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
如果 那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.
费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式
从方程 (1)和上式,得出:
结果把 配成了完全平方式:。左式中, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ,相应地在右边插入一项。根据恒等式
及
- 两式相加,可得
- (的插入)
与等式(2)相加,得
也就是
现在我们需要寻找一个值,使得方程的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
把二项式与多项式相乘,
- 两边除以,再把移动到右边,
这是关于的三次方程。两边除以,
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程是嵌套的三次方程。为了解方程,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
方程变为
展开,得
合并同类项,得
这是嵌套的三次方程。
记
则此三次方程变为
解嵌套的降低次数的三次方程
方程的解(三个解中任何一个都可以)为
- 令
- (由三次方程)
则原来的嵌套三次方程的解为
- 注意 :
- 注意 :
配成完全平方项
的值已由式给定,现在知道等式的右边是完全平方的形式
-
- 这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。
从而它可分解因式为:
- .
- 注:若 则 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程化为
- .
等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
- .
对 合并同类项,得
- .
- 注: 及 中的下标 用来标记它们是相关的。
方程是关于的二次方程。其解为
化简,得
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
-
- 注意:两个 来自等式的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。
费拉里方法的概要
给定一个四次方程
其解可用如下方法求出:
-
- 若 ,求解 并代入 ,求得根
- .
- 解析失败 (未知函数“\g”): {\displaystyle Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \g amma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, }
- (平方根任一正负号均可)
- (有三个复根,任一个均可)
- 解析失败 (语法错误): {\displaystyle y =\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }, }
-
- 两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对, ,,,及 及 及 来求。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对相对的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
- ,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
笛卡兒方法
此四次方程是下列两个二次方程之积:
以及
由于
因此
设
则方程
变为
同时有(未知的)变量和使方程
变为
方程与
相乘,得
把方程
与原来的二次方程比较,可知
及
因此
方程的解为
这两个解中的一个应是所求的实解。
歐拉的方法
寫出式子 ,令 ,
把上式改寫為 ,
再利用係數 造出另一式子: , 求出 的三根,並用 代表它們。
那麼 的四個根就是
合併來看
二次方程根的樣式為 ,其中
三次方程根的樣式為 ,其中
四次方程根的樣式為 ,其中
延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。
其它方法
化为双二次方程
一个例子可见双二次方程。
參見
文獻