满射

满射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数$f:X\rightarrow Y$为满射，則对于任意的陪域 $Y$ 中的元素 $y$，在函数的定义域 $X$ 中存在一點 $x$ 使得 $f(x)=y$。换句话说，$f$是满射時，它的值域$f(X)$与陪域$Y$相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等於空集合。

例子和反例

函数$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，定义为$g(x)=x^{2}$，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足$x^{2}=-1$。

但是，如果把$g$的陪域限制到只有非负实数，则函数$g$为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数$y$，我们能对$y=x^{2}$求解，得到$x=\pm {\sqrt {y}}$。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质

• 函数$f:X\rightarrow Y$为一个满射，当且仅当存在一个函数$g:Y\rightarrow X$满足$f\circ g$等于$Y$上的恆等函數。（这个陈述等價于选择公理。）
• 根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
• 如果$f\circ g$ 是满射，则$f$是满射。
• 如果$f$和$g$皆为满射，则$f\circ g$为满射。
• $f:X\rightarrow Y$为满射，当且仅当给定任意函数$g,h:Y\rightarrow Z$满足$g\circ f=h\circ f$，则$g=h$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射，且$B$是$Y$的子集，则，$f(f^{-1}(B))=B$。因此，$B$能被其原像复原。
• 任意函数$h:X\rightarrow Y$都可以分解为一个适当的满射$f$和单射$g$，使得$h=g\circ f$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射函数，则$X$在基数意义上至少有跟$Y$一样多的元素。
• 如果$X$和$Y$皆为具有相同元素数的有限集合，则$f:X\rightarrow Y$是满射当且仅当$f$是单射。

相关条目

• 单射
• 双射

參考文獻

• Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.