满射：修订间差异

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2021年9月4日 (六) 15:31的版本

满射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数 $f:X\rightarrow Y$ 为满射，則对于任意的陪域 $Y$ 中的元素 $y$ ，在函数的定义域 $X$ 中存在一點 $x$ 使得 $f(x)=y$ 。换句话说， $f$ 是满射時，它的值域 $f(X)$ 与陪域 $Y$ 相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等於空集合。

例子和反例

函数 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，定义为 $g(x)=x^{2}$ ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足 $x^{2}=-1$ 。

但是，如果把 $g$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数 $g$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数 $y$ ，我们能对 $y=x^{2}$ 求解，得到 $x=\pm {\sqrt {y}}$ 。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质

根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在 $X$ 上的函數 $f$ ，視為其圖像，即 $\{(x,f(x)):x\in X\}$ （集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是 $f$ 的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。^[1]單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數

函數 $g:Y\to X$ 稱為函數 $f:X\to Y$ 的右逆，意思是 $f(g(y))=y$ 對 $Y$ 的所有元素 $y$ 成立。簡而言之， $g$ 的效果，可以 $f$ 復原。用文字表示， $g$ 是 $f$ 的右逆，意思是先做 $g$ 後做 $f$ 的複合 $f\circ g$ ，等於 $Y$ 上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求 $g$ 是 $f$ 的真正反函數，因為另一次序的複合 $g\circ f$ ，不必是 $X$ 的恆等函數。換言之， $f$ 可以「復原」或「抵消」 $g$ ，但不必被 $g$ 復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論（例如假設確定性公理（英语：Axiom of determinacy））中，不必為真。

若 $f:X\to Y$ 為滿射， $B$ 為 $Y$ 的子集，則 $f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B$ ，即從預象 $f^{\mathrm {pre} }(B)$ ，可以找回 $B$ 。

範疇的滿態射

函數 $f:X\to Y$ 是滿射，當且僅當其為右可消去（英语：right-cancellative）：^[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數 $g,h:Y\to Z$ ，若 $g\circ f=h\circ f$ ，則有 $g=h$ 。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射（英语：epimorphism）或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射 $f$ 的右逆 $g$ 也稱為 $f$ 的截面（英语：section (category theory)）。而有右逆的態射稱為分裂滿態射（英语：split epimorphism），是一類特殊的滿態射。

作為二元關係

以 $X$ 為定義域， $Y$ 為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全（英语：left-total relation）右唯一（英语：right-unique relation）的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由 $X$ 到 $Y$ 的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

其他性質

如果 $f\circ g$ 是满射，则 $f$ 是满射。
如果 $f$ 和 $g$ 皆为满射，则 $f\circ g$ 为满射。
任意函数 $h:X\rightarrow Y$ 都可以分解为一个适当的满射 $f$ 和单射 $g$ ，使得 $h=g\circ f$ 。
如果 $f:X\rightarrow Y$ 为满射函数，则 $X$ 在基數意义上至少有跟 $Y$ 一样多的元素。
如果 $X$ 和 $Y$ 皆为具有相同元素数的有限集合，则 $f:X\rightarrow Y$ 是满射当且仅当 $f$ 是单射。

參考文獻

Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.

^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1 （英语）.

[1] T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.

[2] Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1 （英语）.

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 若將定義在<math>X</math>上的函數<math>f</math>，視為其[[函數圖形|圖像]]，即<math>\{(x, f(x)): x \in X\}</math>（[[集合論]]經常如此行），則滿射與否，不僅是<math>f</math>的性質，而是[[映射]]（需要聲明[[陪域]]）的性質。<ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=Mathematical Analysis|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref>單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。
-===滿射作為右可逆函數===
+===右可逆函數===
 函數<math>g: Y \to X</math>稱為函數<math>f: X \to Y</math>的'''[[反函數|右逆]]'''，意思是<math>f (g(y)) = y </math>對<math>Y</math>的所有元素<math>y</math>成立。簡而言之，<math>g</math>的效果，可以<math>f</math>復原。用文字表示，<math>g</math>是<math>f</math>的右逆，意思是先做<math>g</math>後做<math>f</math>的[[複合函數|複合]]<math>f \circ g</math>，等於<math>Y</math>上的[[恆等函數]]，即不造成任何變化。此處不要求<math>g</math>是<math>f</math>的真正[[反函數]]，因為另一次序的[[複合函數|複合]]<math>g \circ f</math>，不必是<math>X</math>的恆等函數。換言之，<math>f</math>可以「復原」或「抵消」<math>g</math>，但不必被<math>g</math>復原或抵消。
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 若<math>f: X \to Y</math>為滿射，<math>B</math>為<math>Y</math>的[[子集]]，則<math>f(f^\mathrm{pre}(B)) = B</math>，即從[[像 (數學)|預象]]<math>f^\mathrm{pre}(B)</math>，可以找回<math>B</math>。
+===範疇的滿態射===
+函數<math>f: X \to Y</math>是滿射，當且僅當其為{{le|右可消去|right-cancellative}}：<ref>{{Cite book
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+|title=Topoi, the Categorial Analysis of Logic
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+|orig-year=1984
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+[[範疇論]]中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射<math>f</math>的右逆<math>g</math>也稱為<math>f</math>的'''{{le|截面 (範疇論)|section (category theory)|截面}}'''。而有右逆的態射稱為{{le|分裂滿態射|split epimorphism}}，是一類特殊的滿態射。
+===作為二元關係===
+以<math>X</math>為定義域，<math>Y</math>為值域的函數，可以視為兩集合之間的{{le|左全關係|left-total relation|左全}}{{le|右唯一關係|right-unique relation|右唯一}}的二元關係，因為可將函數與[[函數圖像|圖像]]等同。此觀點下，由<math>X</math>到<math>Y</math>的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。
 ===其他性質===
 * 如果<math>f\circ g</math> 是满射，则<math>f</math>是满射。
 * 如果<math>f</math>和<math>g</math>皆为满射，则<math>f\circ g</math>为满射。
-* <math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，当且仅当给定任意函数<math>g,h:Y\rightarrow Z</math>满足<math>g\circ f=h\circ f</math>，则<math>g=h</math>。
-* 如果<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，且<math>B</math>是<math>Y</math>的[[子集]]，则，<math>f(f^{-1}(B))=B</math>。因此，<math>B</math>能被其原像复原。
 * 任意函数<math>h:X\rightarrow Y</math>都可以分解为一个适当的满射<math>f</math>和单射<math>g</math>，使得<math>h=g\circ f</math>。
 * 如果<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射函数，则<math>X</math>在[[基數 (數學)|基數]]意义上至少有跟<math>Y</math>一样多的元素。

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英语：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射满射双射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英语：Partial function）多值隱
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