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洛必达法则:修订间差异

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<ref>{{Cite web |url=https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |title=存档副本 |access-date=2020-10-20 |archive-date=2020-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201231202431/https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |dead-url=no }}</ref>
* {{Cite web |url=https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |title=L'Hôpital's Rule |access-date=2020-10-20 |archive-date=2020-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201231202431/https://www.mathsisfun.com/calculus/l-hopitals-rule.html |dead-url=no }}
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2022年3月23日 (三) 13:14的版本

洛必達法則(法語:Règle de L'Hôpital,英語:L'Hôpital's rule)是利用導數計算具有不定型極限方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名,但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利[1]所發現。

敘述

洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令擴展實數),兩函數在以為端點的開區間可微,,並且

如果 其中一者成立,則稱欲求的極限未定式

此時洛必达法则表明:

對於不符合上述分數形式的未定式,可以通過運算轉為分數形式,再以本法則求其值。以下列出數例:

欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法
(1)
(2)
(3)
(4)

注意:不能在数列形式下直接用洛必達法則,因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。

證明

下面仅给出 的证明。

设两函數在a 點附近连续可导,都在 a 點連續,且其值皆為 0 ,

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

由極限的定义,对任何一个,都存在,使得对任意的,都有:

而根据柯西中值定理,对任意的,都存在一个介于之间的数,使得:

于是,

因此,

极限

例子

参阅

注释与参考

注释

参考文献

  1. ^ Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7.