介值定理：修订间差异

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2022年5月27日 (五) 03:52的版本

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設有一連續函數

f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}

，且假設

f(a)<f(b)

，若對任意數

u

滿足

f(a)<u<f(b)

，則存在一點

c,\;a<c<b

，使得

f(c)=u

，當

f(a)>f(b)

時也有類似敘述。

直觀地比喻，這代表在 $[a,b]$ 區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$ ；第二种情况也类似。

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界 $c=\mathrm {sup}$ $S$ 一定存在。我们来证明 $f(c)=u$ 。

假设 $f(c)>u$ 。那么 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是说，对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因为 $c=\mathrm {sup}$ $S$ , 因此存在 $x'\in (c-\delta ,c]$ ，使得 $f(x')\leqslant u$ , 所以我们有： $f(x')>u$ 并且 $f(x')\leqslant u$ , 这显然是矛盾的。
假设 $f(c)<u$ 。根据连续性，存在一个 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那么对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，这与 $c$ 的定义矛盾。

因此 $f(c)=u$ 。

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數 $f(x)=x^{2}-2$ 滿足 $f(0)=-2,f(2)=2$ ，但不存在滿足 $f(x)=0$ 的有理數 $x$ 。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，且

f(a)\cdot f(b)<0

，则必存在

\xi \in (a,b)

使

f(\xi )=0

成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。^[1]

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

参考资料

^ 埃里克·韦斯坦因. Bolzano's Theorem. MathWorld.

外部链接

cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.

[1] 埃里克·韦斯坦因. Bolzano's Theorem. MathWorld.

[1]

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 设<math>S</math>为<math>[a,b]</math>内所有<math>x</math>的集合，使得<math>f(x) \leqslant u</math>。那么<math>S</math>是非空的，因为<math>a</math>是<math>S</math>的一个元素，且<math>S</math>是上有界的，其上界为<math>b</math>。于是，根据实数的[[完备空间|完备性]]，[[最小上界]]<math>c= \mathrm{sup}</math> <math>S</math>一定存在。我们来证明<math>f(c)=u</math>。
-* 假设<math>f(c)>u</math>。那么<math>f(c)-u>0</math>，因此存在<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>\left| f(x)-f(c) \right|< f(c)-u</math>，因为<math>f</math>是连续函数。但是，这样一来，当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u</math>（也就是说，对于<math>(c- \delta ,c+ \delta )</math>内的<math>x</math>，都有<math>f(x)>u</math>）。因为<math>c=\mathrm{sup}</math> <math>S</math>, 因此存在<math>x' \in (c-\delta, c)</math>，使得<math>f(x') \leqslant u</math>, 所以我们有：<math>f(x')>u</math> 并且<math>f(x')\leqslant u</math>, 这显然是矛盾的。
+* 假设<math>f(c)>u</math>。那么<math>f(c)-u>0</math>，因此存在<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>\left| f(x)-f(c) \right|< f(c)-u</math>，因为<math>f</math>是连续函数。但是，这样一来，当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u</math>（也就是说，对于<math>(c- \delta ,c+ \delta )</math>内的<math>x</math>，都有<math>f(x)>u</math>）。因为<math>c=\mathrm{sup}</math> <math>S</math>, 因此存在<math>x' \in (c-\delta, c]</math>，使得<math>f(x') \leqslant u</math>, 所以我们有：<math>f(x')>u</math> 并且<math>f(x')\leqslant u</math>, 这显然是矛盾的。
 * 假设<math>f(c)<u</math>。根据连续性，存在一个<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>\left| f(x)-f(c) \right|< u-f(c)</math>。那么对于<math>(c- \delta ,c+ \delta )</math>内的<math>x</math>，都有<math>f(x)<f(c)+(u-f(c))=u</math>，因此存在大于<math>c</math>的<math>x</math>，使得<math>f(x)<u</math>，这与<math>c</math>的定义矛盾。