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參數方程:修订间差异

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|cos(t);sin(t);t;0;6.28
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*直线:
*[[直线]]
**[点斜式]过<math>(x_0, y_0)</math>,斜率为<math>m</math>的直线: <math>\begin{cases}x = x_0 + t \\ y = y_0 + mt \end{cases}</math>
**点斜式过<math>(x_0, y_0)</math>,[[斜率]]为<math>m</math>的直线: <math>\begin{cases}x = x_0 + t \\ y = y_0 + mt \end{cases}</math>
**[点向式]过<math>(x_0, y_0)</math>, 方向向量为<math>(u, v)</math>的直线:<math>\begin{cases}x = x_0 + ut \\ y = y_0 + vt \end{cases}</math>
**点向式过<math>(x_0, y_0)</math>, 方向向量为<math>(u, v)</math>的直线:<math>\begin{cases}x = x_0 + ut \\ y = y_0 + vt \end{cases}</math>
*圆:<math>\begin{cases}x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}</math>
*[[]]:<math>\begin{cases}x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}</math>
*椭圆:<math>\begin{cases}x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}</math>
*[[椭圆]]:<math>\begin{cases}x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}</math>
*双曲线:<math>\begin{cases}x = a \sec t \\ y = b \tan t \end{cases}</math>
*[[双曲线]]:<math>\begin{cases}x = a \sec t \\ y = b \tan t \end{cases}</math>
*抛物线:<math>\begin{cases}x = 2ct\\ y = t^2 \end{cases}</math>
*[[抛物线]]:<math>\begin{cases}x = 2ct\\ y = t^2 \end{cases}</math>
*螺线:<math>\begin{cases}x = t \cos lt \\ y = t \sin lt \end{cases} </math>
*[[螺线]]:<math>\begin{cases}x = t \cos lt \\ y = t \sin lt \end{cases} </math>
*摆线:<math>\begin{cases}x = r \cdot \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \cdot \left ( 1 - \cos t \right ) \end{cases}</math>
*[[摆线]]:<math>\begin{cases}x = r \cdot \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \cdot \left ( 1 - \cos t \right ) \end{cases}</math>


注:上文中的<math>a, b, c, h, k, l, m, p, r, x_0, y_0,u ,v</math>为已知数,t都为参数, x, y为变量
注:上文中的<math>a, b, c, h, k, l, m, p, r, x_0, y_0,u ,v</math>为已知数,t都为参数, x, y为变量

2023年3月23日 (四) 05:59的版本

用参数方程可以很容易表示出的蝶形线

參數方程(英語:Parametric equation)和函數相似,都是由一些在指定的集合,稱為參數自變數,以決定因變數的結果。例如在運動學,參數通常是「時間」,而方程的結果是速度、位置等。

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数:

并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

,表示了平面上半徑為、以原點為圓心的。在三維,加入,便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成:

如果有一個粒子,沿這個螺旋的路徑而行,直接微分上面的式子便會得到粒子的速度:

加速度

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數(s,t)或(u,v)的函數。

譬如一個圓柱:


参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时,它的位置必然与时间有关系,也就是说,质的坐标x,y与时间t之间有函数关系x=f(t),y=g(t),这两个函数式中的变量t,相对于表示质点的几何位置的变量x,y来说,就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量,被抽象到数学中,就成了参数。我们所学的参数方程中的参数,其任务在于沟通变量x,y及一些常量之间的联系,为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难。

常见参数方程

圓形參數方程在r=1的情形。
  • 直线
    • 点斜式过斜率的直线:
    • 点向式过, 方向向量为的直线:
  • 椭圆
  • 双曲线
  • 抛物线
  • 螺线
  • 摆线

注:上文中的为已知数,t都为参数, x, y为变量

參見