椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程（英語：Elliptic partial differential equation）是一类二阶線性偏微分方程，形式为：

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}Fu+G=0\,$

并满足

$B^{2}-AC<0.\$

其中A, B, C, D, E, F, and G是x和y的函數，$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$, $u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$，$u_{xx},u_{y},u_{yy}$的定義也類似

其名稱是源自[[橢圓形]的方程式。

最簡單的椭圆型偏微分方程是拉普拉斯方程，$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$，以及泊松方程，$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$。其他所有的雙變數椭圆型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換，轉換為以下的標準形。

$u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0$

参见

• 椭圆算子
• 抛物型偏微分方程
• 双曲型偏微分方程
• 二阶偏微分方程