施泰纳-莱穆斯定理：修订间差异
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在[[平面几何]]中，“[[等腰三角形]]的两条[[角平分线|内角平分线]]相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的[[逆命题]]，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，[[德国]]数学家{{tsl|en|C. L. Lehmus|C·L·莱穆斯}}写信给瑞士数学家{{tsl|en|Jakob Steiner|雅各布·施泰纳}}，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了这一问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明则来自法国[[路易大帝中学]]的学生鲁热万（Rougevin）。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。该定理后来被称为“施泰纳-莱穆斯定理”。<ref>{{cite journal|journal=''Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale''|volume=1|year=1842|page=138-139|title=Démonstration du théorème 1 (page 57)|author=Rougevin|language=fr}}</ref><ref>{{cite journal|author=Steiner|first=J.|title=Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck|journal=''Journal für die reine und angewandte Mathematik''|volume=28|year=1844|page=375-379|url=https://eudml.org/doc/147256|language=de}}</ref><ref>{{cite journal|author=M'Bride|first=J.|year=1943|title=“The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account|journal=Edinburgh Mathematical Notes|volume=33|page=1-13|doi=10.1017/S0950184300000021|url=https://web.archive.org/web/20190502185208id_/https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/7B625B08567935CAE06A0AC9430477C0/S0950184300000021a.pdf/div-class-title-the-equal-internal-bisectors-theorem-1840-1940-many-solutions-or-none-a-centenary-account-div.pdf|language=en}}</ref><ref>{{cite book|title=Geometry Revisited|first1=H. S. M.|last1=Coxeter|first2=S. L.|last2=Greitzer|url=https://www.math.unipd.it/~legovini/Coxeter_Greitzer_Geometry_revisited.pdf|publisher=The Mathematical Association of America|year=1967|location=Washington, D.C.|isbn=0-88385-619-0|page=14-16|language=en}}</ref> |
在[[平面几何]]中，“[[等腰三角形]]的两条[[角平分线|内角平分线]]相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的[[逆命题]]，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，[[德国]]数学家{{tsl|en|C. L. Lehmus|C·L·莱穆斯}}写信给瑞士数学家{{tsl|en|Jakob Steiner|雅各布·施泰纳}}，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了这一问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明则来自法国[[路易大帝中学]]的学生鲁热万（Rougevin）。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。该定理后来被称为“施泰纳-莱穆斯定理”。<ref>{{cite journal|journal=''Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale''|volume=1|year=1842|page=138-139|title=Démonstration du théorème 1 (page 57)|author=Rougevin|language=fr|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1842_1_1__138_0.pdf}}</ref><ref>{{cite journal|author=Steiner|first=J.|title=Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck|journal=''Journal für die reine und angewandte Mathematik''|volume=28|year=1844|page=375-379|url=https://eudml.org/doc/147256|language=de}}</ref><ref>{{cite journal|author=M'Bride|first=J.|year=1943|title=“The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account|journal=Edinburgh Mathematical Notes|volume=33|page=1-13|doi=10.1017/S0950184300000021|url=https://web.archive.org/web/20190502185208id_/https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/7B625B08567935CAE06A0AC9430477C0/S0950184300000021a.pdf/div-class-title-the-equal-internal-bisectors-theorem-1840-1940-many-solutions-or-none-a-centenary-account-div.pdf|language=en}}</ref><ref>{{cite book|title=Geometry Revisited|first1=H. S. M.|last1=Coxeter|first2=S. L.|last2=Greitzer|url=https://www.math.unipd.it/~legovini/Coxeter_Greitzer_Geometry_revisited.pdf|publisher=The Mathematical Association of America|year=1967|location=Washington, D.C.|isbn=0-88385-619-0|page=14-16|language=en}}</ref> |
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==外角平分线问题== |
==外角平分线问题== |
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2023年6月11日 (日) 07:44的版本
施泰纳-莱穆斯定理是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，此后百余年内又涌现大量证法。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯和瑞士数学家雅各布·施泰纳命名，前者是问题的提出者，后者是最早证明该问题的人之一。
施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。
历史
在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯写信给瑞士数学家雅各布·施泰纳，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了这一问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明则来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin）。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。该定理后来被称为“施泰纳-莱穆斯定理”。[1][2][3][4]
外角平分线问题
類似的陳述適用於中線、高、內角n分線（將原來的角分成原來的1/n角的線段）和經過葛爾剛點的線[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）等的塞瓦線段。可是這並不適用於外角平分線。一個132度、36度和12度的三角形是一個反例。
外部連結
- The Lasting Legacy of Ludoph Lehmus, Diane and Roy Dowling
- Stelling van Steiner-Lehmus （页面存档备份，存于互联网档案馆）：不同的證法（有圖，荷蘭語）
- 不同的證法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（純文字，英語）
参考文献
- ^ Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 （法语）.
- ^ Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 （德语）.
- ^ M'Bride, J. “The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13. doi:10.1017/S0950184300000021 （英语）.
- ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16. ISBN 0-88385-619-0 （英语）.