的士數

第n個的士數(Taxicab number)，一般寫作Ta(n)或Taxicab(n)，定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個正立方數。1954年，G·H·哈代與愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助，截止現時，只找到6個的士數（OEIS:A011541）：

n	Ta(n)	a^3+b^3	發現日期	發現者
1	2	1,1
2	1729	1,12 9,10	1657年	Bernard Frenicle de Bessy
3	87539319	167,436 228,423 255,414	1957年	John Leech
4	6963472309248	2421,19083 5436,18948 10200,18072 13322,16630	1991年	E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel
5	48988659276962496	38787,365757 107839,362753 205292,342952 221424,336588 231518,331954	1997年11月	David W. Wilson
6	24153319581254312065344	582162,28906206 3064173,28894803 8519281,28657487 16218068,27093208 17492496,26590452 18289922,26224366	2008年5月	U. Hollerbach

Ta(2)因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知：

我（哈代）記得有次去見他（拉馬努金）時，他在Putney病得要命。我乘一輛編號1729的的士去，並記下(7·13·19)這個看來沒趣的數，希望它不是甚麼不祥之兆。「不，」他說，「這是個很有趣的數；它是最小能用兩種不同方法表示成兩個（正）立方數的數。

在Ta(2)之後，所有的的士數均有用電腦來找尋。

Ta(6)的找尋

• David W. Wilson證明了Ta(6) ≤ 8230545258248091551205888。
• 1998年丹尼爾·朱利阿斯·伯恩斯坦證實391909274215699968 ≥ Ta(6) ≥ 10¹⁸
• 2002年Randall L. Rathbun證明Ta(6) ≤ 24153319581254312065344
• 2003年5月，Stuart Gascoigne確定Ta(6)$>6.8\times 10^{19}$，且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen顯示Ta(6)=24153319581254312065344的機會大於99%。

參看

• 一般化的士數：多個多次冪之和
• 士的數：兩個不論正負的立方數之和

參考

• G. H. Hardy 和 E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online
• D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389--394.
• C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203