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-{T|zh:介值定理;zh-tw:中間值定理;zh-cn:介值定理}-
{{distinguish|中值定理}}
{{distinguish|中值定理}}
{{微積分學}}
{{微積分學}}
在[[数学分析]]中，'''介值定理'''（{{lang-en|intermediate value theorem}}，又稱'''中間值定理'''）描述了[[連續函數]]在兩點之間的連續性：
在[[数学分析]]中，'''-{zh: 介值定理;zh-tw:中間值定理;zh-cn:介值定理}- '''（{{lang-en|intermediate value theorem}}，又稱'''-{zh: 中間值定理;zh-tw:介值定理;zh-cn:中間值定理}- '''）描述了[[連續函數]]在兩點之間的連續性：
:假設有一連續函數 <math>f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}</math>，且假設 <math>f(a) < f(b)</math>，若對任意數 <math>u</math> 滿足 <math>f(a) < u < f(b)</math>，則存在一點 <math>c,\; a < c < b</math>，使得<math>f(c)=u</math>，當 <math>f(a) > f(b)</math> 時也有類似敘述。
:假設有一連續函數 <math>f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}</math>，且假設 <math>f(a) < f(b)</math>，若對任意數 <math>u</math> 滿足 <math>f(a) < u < f(b)</math>，則存在一點 <math>c,\; a < c < b</math>，使得<math>f(c)=u</math>，當 <math>f(a) > f(b)</math> 時也有類似敘述。
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或者可以這樣說，函數的圖像必然會穿過區間<math>(a,b)</math>中的每一個點。
或者可以這樣說，函數的圖像必然會穿過區間<math>(a,b)</math>中的每一個點。
介值定理首先由[[伯纳德·波尔查诺]]在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]。
-{A|zh: 介值定理;zh-tw:中間值定理;zh-cn:介值定理}- 首先由[[伯纳德·波尔查诺]]在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]。
== 定理 ==
== 定理 ==
在数学分析 中，介值定理 （英語：intermediate value theorem ，又稱中間值定理 ）描述了連續函數 在兩點之間的連續性：
假設有一連續函數
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
f
(
a
)
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<f(b)}
u
{\displaystyle u}
f
(
a
)
<
u
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<u<f(b)}
c
,
a
<
c
<
b
{\displaystyle c,\;a<c<b}
f
(
c
)
=
u
{\displaystyle f(c)=u}
f
(
a
)
>
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)>f(b)}
直觀地比喻，這代表在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
介值定理首先由伯纳德·波尔查诺 在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 。
介值定理圖解 假設
I
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle I=[a,b]}
實數 裡的闭区间 ，而
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }
連續函數 ，那麼其像集
f
(
I
)
{\displaystyle f(I)}
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
{\displaystyle [f(a),f(b)]}
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq f(b)}
[
f
(
b
)
,
f
(
a
)
]
{\displaystyle [f(b),f(a)]}
f
(
b
)
≤
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)\leq f(a)}
f
(
I
)
⊇
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]}
或
f
(
I
)
⊇
[
f
(
b
)
,
f
(
a
)
]
{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]}
介值定理通常以下述等價的形式表述：假設
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }
u
{\displaystyle u}
f
(
a
)
<
u
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<u<f(b)}
f
(
a
)
>
u
>
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)>u>f(b)}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f
(
c
)
=
u
{\displaystyle f(c)=u}
先证明第一种情况
f
(
a
)
<
u
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<u<f(b)}
{\displaystyle }
设
S
{\displaystyle S}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
⩽
u
{\displaystyle f(x)\leqslant u}
S
{\displaystyle S}
a
{\displaystyle a}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
b
{\displaystyle b}
完备性 ，最小上界
c
=
s
u
p
{\displaystyle c=\mathrm {sup} }
S
{\displaystyle S}
f
(
c
)
=
u
{\displaystyle f(c)=u}
假设
f
(
c
)
>
u
{\displaystyle f(c)>u}
f
(
c
)
−
u
>
0
{\displaystyle f(c)-u>0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
f
(
c
)
−
u
{\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u}
f
{\displaystyle f}
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }
f
(
x
)
>
f
(
c
)
−
(
f
(
c
)
−
u
)
=
u
{\displaystyle f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u}
(
c
−
δ
,
c
+
δ
)
{\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
>
u
{\displaystyle >u}
c
=
s
u
p
{\displaystyle c=\mathrm {sup} }
S
{\displaystyle S}
x
′
∈
(
c
−
δ
,
c
]
{\displaystyle x'\in (c-\delta ,c]}
f
(
x
′
)
⩽
u
{\displaystyle f(x')\leqslant u}
f
(
x
′
)
>
u
{\displaystyle f(x')>u}
f
(
x
′
)
⩽
u
{\displaystyle f(x')\leqslant u}
假设
f
(
c
)
<
u
{\displaystyle f(c)<u}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle \left|x-c\right|<\delta }
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
u
−
f
(
c
)
{\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)}
(
c
−
δ
,
c
+
δ
)
{\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
<
f
(
c
)
+
(
u
−
f
(
c
)
)
=
u
{\displaystyle f(x)<f(c)+(u-f(c))=u}
c
{\displaystyle c}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
<
u
{\displaystyle f(x)<u}
c
{\displaystyle c}
因此
f
(
c
)
=
u
{\displaystyle f(c)=u}
此定理仰賴於實數 完備性，它對有理數 不成立。例如函數
f
(
x
)
=
x
2
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}-2}
f
(
0
)
=
−
2
,
f
(
2
)
=
2
{\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
x
{\displaystyle x}
零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
<
0
{\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
f
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle f(\xi )=0}
勘根定理 。伯纳德·波尔查诺 於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。[ 1]
介值定理意味着在地球的任何大圆 上，温度 、压强 、海拔 、二氧化碳 的浓度 （或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点 ，在这两个点上该变量的值是相同的。
证明： 取f 为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A 和点B 。设d 为f (A ) − f (B )的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d 。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f (A ) = f (B )。
这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理 的特殊情况。
提示：此条目的主题不是中值定理。
![{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4932ba702175b9e0bc40b79efbc051c7ff44949)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle I=[a,b]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6214bb3ce7f00e496c0706edd1464ac60b73b5)
![{\displaystyle [f(a),f(b)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d161b7a940ac6e5fee9c0e946217e91ca36eb0)
![{\displaystyle [f(b),f(a)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23281aa2dc8e028567a42a77030125f8c56bd44)
![{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ac4aeae809aef36c01241d0fe4c386b024d2a8)
![{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed18c65a543d4ca933548ea0a948b29f767e098b)
![{\displaystyle x'\in (c-\delta ,c]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/309f0d094e1f3a14702fa34d3e818edd28b1cb7c)
