介值定理

提示：此条目页的主题不是中值定理。

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。若一實數 $u$ 滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$，則存在一實數 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

介值定理圖解

設 $I=[a,b]$，其中 $a<b$，且 $f\colon I\to \mathbb {R}$ 為一連續函數。則下列敘述成立：

• 對任意滿足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$ 的實數 $u$，皆存在一實數 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。
• $f(I)$ 為一包含 $f(a)$ 與 $f(b)$ 的閉區間。

证明

先证明第一种情况$f(a)<u<f(b)$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设$S$为$[a,b]$内所有$x$的集合，使得$f(x)\leqslant u$。那么$S$是非空的，因为$a$是$S$的一个元素，且$S$是上有界的，其上界为$b$。于是，根据实数的完备性，最小上界$c=\mathrm {sup}$ $S$一定存在。我们来证明$f(c)=u$。

• 假设$f(c)>u$。那么$f(c)-u>0$，因此存在$\delta >0$，使得当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$，因为$f$是连续函数。但是，这样一来，当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$（也就是说，对于$(c-\delta ,c+\delta )$内的$x$，$f(x)$皆$>u$）。但參照上述定義，因为$c=\mathrm {sup}$ $S$, 因此存在$x'\in (c-\delta ,c]$，使得$f(x')\leqslant u$, 所以我们有：$f(x')>u$ 并且$f(x')\leqslant u$, 这显然是矛盾的。
• 假设$f(c)<u$。根据连续性，存在一个$\delta >0$，使得当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$。那么对于$(c-\delta ,c+\delta )$内的$x$，都有$f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$，因此存在大于$c$的$x$，使得$f(x)<u$，这与$c$的定义矛盾。

因此$f(c)=u$。

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數$f(x)=x^{2}-2$滿足$f(0)=-2,f(2)=2$，但不存在滿足$f(x)=0$的有理數$x$。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必存在$\xi \in (a,b)$使$f(\xi )=0$成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理
• 達布定理

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.