频率 (统计学)：修订间差异

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2024年6月26日 (三) 14:17的版本

统计学裡，一事件 $i$ 的频率，可以表示為 $n_{i}$ ，是在實驗中觀測到事件 $i$ 的次數，常表示為 $n_{i}$ ，也稱為絕對頻率，頻次或是次數^[1]^:12–19。例如在擲骰子100次的隨機實驗中，有16次擲出6點，則在該實驗中，「擲出6點」事件的頻率為16。

實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。

種類

累計頻率（cumulative frequency）是事件經排序後，在特定點以下之事件的絕對頻率總和。^[1]^:17–19。

某事件的實驗機率（英语：Empirical probability）（也稱為相對頻率），是其絕對頻率除以所有事件總數後的正規化結果：

f_{i}={\frac {n_{i}}{N}}={\frac {n_{i}}{\sum _{j}n_{j}}}.

可以將所有事件的實驗頻率 $f_{i}$ 繪出，即為頻率分布（frequency distribution）。

頻率分佈

美國2000年通勤所需時間的直方图

条形图，其中以國家為分类变量

水平3D條形圖

世界各國人口分佈的圓餅圖

各種描繪頻率分佈的方法

頻率分佈（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有直方图、条形图、折線圖及圓餅圖。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。

建構頻率分佈

決定分組組數。若統計的是量化的資料，需要決定分組的組數。組數太多或是太少會無法呈現資料的特性，也有可能很難依該組數來進行分組和分析。理想的分組組數可以參考： ${\text{number of classes}}=C=1+3.3\log n$ （log是以10為基底），或是依直方圖的「方根公式」 $C={\sqrt {n}}$ ，其中n是資料的總數（若是像人口資料的統計，用後者會分太多組）。不過這些公式只是作為參，還是需要依實際情形作調整。
用資料最大值和最小值計算資料全距（全距=最大值 – 最小值）。全距會用來決定每一組的寬度。
決定每一組的寬度，以h來表示，公式為 $h={\frac {\text{range}}{\text{number of classes}}}$ （假設每一組的寬度都相同）。

一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形^[2]。

決定第一組的下限。一般會小於或等於最小值。
每觀測一個資料，就在其對應的分組加上一個記號，直到所有的資料都紀錄完為止。
依需求計算頻率、相對頻率、累計頻率等資訊。

以下是一些常用來呈現頻率分佈的圖表^[3]：

直方圖

長條圖

頻率分佈表

聯合頻率分佈

應用

處理和操作以表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。

假說檢定可以用來評估二個頻率分佈的差異和類似性。評估包括量測集中趋势，像是平均数及中位數，也會評估离散程度，像是標準差和方差。

若頻率分佈的平均和中位數有顯著差異，會稱為頻率分佈具有偏度，另一種說法則是非對稱。頻率分佈的峰度是量測在頻率分佈兩側的量在總量中的比例。若其分佈比常態分佈要分散，則稱為高狹峰（leptokurtic），反之，則為低狹峰（platykurtic）。

字母频率分佈可以用在频率分析上，用以破解密碼，也可以用來比較不同語言之間（例如希臘文、拉丁文）的字母相對頻率。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962.
^ Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .
^ Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions

[Kenney-1] 1.0 ^1.1 Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962.

[2] Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .

[3] Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions

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  | caption4 = 世界各國人口分佈的圓餅圖
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 '''頻率分佈'''（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有[[直方图]]、[[条形图]]、[[折線圖]]及[[圓餅圖]]。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。
+===建構頻率分佈===
+# 決定分組組數。若統計的是量化的資料，需要決定分組的組數。組數太多或是太少會無法呈現資料的特性，也有可能很難依該組數來進行分組和分析。理想的分組組數可以參考：<math>\text{number of classes} = C = 1 + 3.3 \log n</math>（log是以10為基底），或是依直方圖的「方根公式」<math> C = \sqrt {n}</math>，其中''n''是資料的總數（若是像人口資料的統計，用後者會分太多組）。不過這些公式只是作為參，還是需要依實際情形作調整。
+# 用資料最大值和最小值計算資料全距{{nowrap begin}}（全距=最大值 – 最小值）{{nowrap end}}。全距會用來決定每一組的寬度。
+# 決定每一組的寬度，以''h''來表示，公式為<math>h = \frac{\text{range}}{\text{number of classes}}</math>（假設每一組的寬度都相同）。
+一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形<ref>{{cite journal |last1=Manikandan |first1=S |date=1 January 2011 |title=Frequency distribution |journal=Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics |volume=2 |issue=1 |pages=54–55 |doi=10.4103/0976-500X.77120 |issn=0976-500X |pmc=3117575 |pmid=21701652 |doi-access=free }}</ref>。
+# 決定第一組的下限。一般會小於或等於最小值。
+# 每觀測一個資料，就在其對應的分組加上一個記號，直到所有的資料都紀錄完為止。
+# 依需求計算頻率、相對頻率、累計頻率等資訊。
+以下是一些常用來呈現頻率分佈的圖表<ref>Carlson, K. and Winquist, J. (2014) ''An Introduction to Statistics''. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions</ref>：
+===直方圖===
+===長條圖===
+===頻率分佈表===
+===聯合頻率分佈===
 == 應用 ==