频率 (统计学)：修订间差异

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2024年6月27日 (四) 07:27的版本

统计学裡，一事件 $i$ 的频率，可以表示為 $n_{i}$ ，是在實驗中觀測到事件 $i$ 的次數，常表示為 $n_{i}$ ，也稱為絕對頻率，頻次或是次數^[1]^:12–19。例如在擲骰子100次的隨機實驗中，有16次擲出6點，則在該實驗中，「擲出6點」事件的頻率為16。

實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。

種類

累計頻率（cumulative frequency）是事件經排序後，在特定點以下之事件的絕對頻率總和。^[1]^:17–19。

某事件的實驗機率（英语：Empirical probability）（也稱為相對頻率），是其絕對頻率除以所有事件總數後的正規化結果：

f_{i}={\frac {n_{i}}{N}}={\frac {n_{i}}{\sum _{j}n_{j}}}.

可以將所有事件的實驗頻率 $f_{i}$ 繪出，即為頻率分布（frequency distribution）。

頻率分佈

美國2000年通勤所需時間的直方图

条形图，其中以國家為分类变量

水平3D條形圖

世界各國人口分佈的圓餅圖

各種描繪頻率分佈的方法

頻率分佈（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有直方图、条形图、折線圖及圓餅圖。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。

建構頻率分佈

決定分組組數。若統計的是量化的資料，需要決定分組的組數。組數太多或是太少會無法呈現資料的特性，也有可能很難依該組數來進行分組和分析。理想的分組組數可以參考： ${\text{number of classes}}=C=1+3.3\log n$ （log是以10為基底），或是依直方圖的「方根公式」 $C={\sqrt {n}}$ ，其中n是資料的總數（若是像人口資料的統計，用後者會分太多組）。不過這些公式只是作為參，還是需要依實際情形作調整。
用資料最大值和最小值計算資料全距（全距=最大值 – 最小值）。全距會用來決定每一組的寬度。
決定每一組的寬度，以h來表示，公式為 $h={\frac {\text{range}}{\text{number of classes}}}$ （假設每一組的寬度都相同）。

一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形^[2]。

決定第一組的下限。一般會小於或等於最小值。
每觀測一個資料，就在其對應的分組加上一個記號，直到所有的資料都紀錄完為止。
依需求計算頻率、相對頻率、累計頻率等資訊。

以下是一些常用來呈現頻率分佈的圖表^[3]：

直方圖

条形图

条形图（bar chart、bar graph）是用長方形的長度表示變量的統計圖表。長方形長條可以水平放置，也可以垂直放置。

頻率分佈表

頻率分佈表是用表格表示抽樣中一個或是多個變數的情形。表格的每一橫行是某個特殊分組或是區間出現的頻率或是次數，這個表可以總結抽樣中的統計分佈。

以下是一個單變數的頻率表，會列出問卷每一種回應的頻率。

排名	同意程度	頻率
1	強烈同意	22
2	有些同意	30
3	不確定	20
4	有些不同意	15
5	強烈不同意	15

以下是班上學生的身高的頻率表

身高範圍	學生人數	累計數量
小於 5.0 英尺	25	25
5.0-5.5 英尺	35	60
5.5-6.0 英尺	20	80
6.0-6.5 英尺	20	100

聯合頻率分佈

詮釋

在頻率論（英语：Frequentist probability）（Frequentist probability）詮釋的概率下，會假設隨著樣本數量的一直增加，特定事件出現的比率最終會接近一個定值，稱為有限相對頻率（limiting relative frequency）^[4]^[5]。

此一詮釋和貝氏機率的結論相反。頻率學派（frequentist）一詞最早是由Maurice Kendall（英语：Maurice Kendall）在1949年開始使用，和Bayesian相對（Maurice稱為是非頻率學派，non-frequentists）^[6]^[7]。他觀察到

3....我們可以大致區分兩種主要的態度。一種將概率視為是「理性信念的程度」，或是其他類似的概念...另一種將概率定義成某事件發生的頻率，或是在整體中的相對比例(p. 101)

...

12. 可能會有人認為，頻率學派和非頻率學派（若我這樣稱呼那些人的話）的差異主要是因為個自聲稱涵蓋領域的不同(p. 104)

...

我斷言不是這樣的 ... 我認為，頻率學派和非頻率學派本質上的差異是，前者為了避免任何觀點問題，用客觀的特性（可能是真的，也可能是假想的）來定義概率，而後者就不然

應用

處理和操作表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。

假說檢定可以用來評估二個頻率分佈的差異和類似性。評估包括量測集中趋势，像是平均数及中位數，也會評估离散程度，像是標準差和方差。

若頻率分佈的平均和中位數有顯著差異，會稱為頻率分佈具有偏度，另一種說法則是非對稱。頻率分佈的峰度是量測在頻率分佈兩側的量在總量中的比例。若其分佈比常態分佈要分散，則稱為高狹峰（leptokurtic），反之，則為低狹峰（platykurtic）。

字母频率分佈可以用在频率分析上，用以破解密碼，也可以用來比較不同語言之間（例如希臘文、拉丁文）的字母相對頻率。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962.
^ Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .
^ Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions
^ von Mises, Richard (1939) Probability, Statistics, and Truth (in German) (English translation, 1981: Dover Publications; 2 Revised edition. ISBN 0486242145) (p.14)
^ The Frequency theory Chapter 5; discussed in Donald Gilles, Philosophical theories of probability (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , p. 88.
^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics
^ Kendall, Maurice George. On the Reconciliation of Theories of Probability. Biometrika (Biometrika Trust). 1949, 36 (1/2): 101–116. JSTOR 2332534. doi:10.1093/biomet/36.1-2.101.

[Kenney-1] 1.0 ^1.1 Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962.

[2] Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .

[3] Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions

[Mises-4] von Mises, Richard (1939) Probability, Statistics, and Truth (in German) (English translation, 1981: Dover Publications; 2 Revised edition. ISBN 0486242145) (p.14)

[Gilles-5] The Frequency theory Chapter 5; discussed in Donald Gilles, Philosophical theories of probability (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , p. 88.

[6] Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics

[7] Kendall, Maurice George. On the Reconciliation of Theories of Probability. Biometrika (Biometrika Trust). 1949, 36 (1/2): 101–116. JSTOR 2332534. doi:10.1093/biomet/36.1-2.101.

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 實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。
 ==種類==
 '''累計頻率'''（cumulative frequency）是事件經排序後，在特定點以下之事件的絕對頻率總和。<ref name="Kenney" />{{rp|17–19}}。