分離態射

在數學中，分離態射是概形間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。

定義

設$X,S$為概形。一個態射$f:X\rightarrow S$被稱作分離態射，若且唯若它所給出的對角映射$\Delta :X\rightarrow X\times _{S}X$是閉浸入。

由此可定義$S$上的分離概形。若取$S$為終對象$\mathrm {Spec} \mathbb {Z}$，可定義絕對的分離概形。

性質探討

從分離性可推出：設$X\rightarrow S$分離，對任何$\mathbf {Sch} _{/S}$裡的態射$f,g:Y\rightarrow X$，若 $f$ 與 $g$ 在一個稠密開集上相等，則$f=g$。準此，可視分離概形為豪斯多夫空間在概形論裡的推廣。

根據定義，分離性僅與拓撲有關：$f:X\rightarrow S$分離若且唯若$f_{\mathrm {red} }:X_{\mathrm {red} }\rightarrow Y_{\mathrm {red} }$分離。群概形都是分離的（考慮映射$(x,y)\mapsto x^{-1}y$）。此外；仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是：若$S$是仿射概形，$X$是$S$上的分離概形，且$U,V\subset X$是仿射開集，則$U\cap V$亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的：

• 概形間的單射（包括開浸入與閉浸入）都是分離態射
• 分離態射的合成仍是分離態射
• 分離態射換底後仍是分離態射
• 若$f:X\rightarrow Y,g:X'\rightarrow Y'$是分離態射，其積$f\times _{S}g:X\times _{S}X'\rightarrow Y\times _{S}Y'$亦然。
• 若$g\circ f$是分離態射，則$f$是分離態射。
• 射影態射是分離態射

於是乎擬射影態射都是分離的，這涵蓋了經典代數幾何裡的所有對象。但在概形論中，我們可透過黏合造出非分離概形；研究函子的可表性時（特別是模空間的研究）亦須仔細處理分離性。

賦值判準

分離性與豪斯多夫性質的類比給出另一種刻劃。設所論概形都是局部諾特概形。僅須處理$Y$是一維時的情形，透過一些代數的論證，可化約到$Y=\mathrm {Spec} (R)$，其中$R$是個離散賦值環之情形；此時態射的唯一延拓性譯為下述陳述：

設$X,Y$都是局部諾特概形，$f:X\rightarrow Y$是局部有限型態射，下述陳述等價：

• $f$ 是分離態射。
• 對任何形如$Y':=\mathrm {Spec} (R)$的$Y$-概形，其中$R$是離散賦值環，設$K$為$R$的分式環；若兩個$Y$-態射$f,g:Y'\rightarrow X$拉回至$\mathrm {Spec} (K)$相等，則有$f=g$。

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228. 
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222.