Wikipedia:臺灣教育專案/臺大物理系服務學習/113-1/弗兰克-塔姆公式

弗蘭克–塔姆公式（英語：Frank–Tamm formula）描述了當帶電粒子以超光速穿過介質時，在給定頻率上發射的契忍可夫輻射量。它以俄羅斯物理學家伊利亞·弗蘭克和伊戈爾·塔姆的名字命名。他們於1937年提出了契忍可夫輻射的理論，並解釋了契忍可夫輻射的成因，因此與契忍可夫輻射的發現者蘇聯物理學家帕維爾·阿列克謝耶維奇·契忍可夫共同獲得1958年的諾貝爾物理學獎。

當帶電粒子在介質中的運動速度超過光在該介質中的相速度時，粒子與介質中的電子相互作用，並可以發射相干的光子，同時遵循能量與動量省恆定律守恆定律。這一過程可視為一種衰變現象。關於此效應的詳細解釋，請參考契忍可夫輻射以及無輻射條件。

方程式

粒子行經每單位長度 $dx$每單位頻率 $d\omega$ 所放出的能量$dE$ 為： $${\frac {\partial ^{2}E}{\partial x\,\partial \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)$$ 前提是 $\beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}$。這裡 $\mu (\omega )$ 和 $n(\omega )$ 分別是介質的頻率相關磁導率和折射率，$q$是粒子的電荷，$v$是粒子的速度，並且$c$是真空中的光速。

契忍可夫輻射不具有典型的螢光或發射光譜特徵峰：一頻率的相對強度大約與該頻率成正比。相反地，契忍可夫輻射的頻率越高（波長越短）越強。這就是為什麼可見的契忍可夫輻射被觀察到呈現亮藍色（可參見契忍可夫輻射中附圖）。事實上，大多數契忍可夫輻射都在紫外光譜上。人眼對色光的敏感度在綠色處達到峰值，在光譜的紫色部分則非常低。

每單位長度輻射的總能量為： $${\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$ 此積分的區間是在能使粒子速度$v$大於介質中的光速${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$的頻率$\omega$上，因此積分是收斂的（有限的），因為在高頻處折射率變得小於1，而在極高頻率處它變成1。

弗蘭克–塔姆公式的推導

考慮帶電粒子相對論性地沿具有折射率${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$的介質中的$x$軸以勻速${\vec {v}}=(v,0,0)$運動。從介質中的馬克士威方程（高斯單位制）開始： $${\begin{aligned}\nabla \cdot {\vec {D}}\,\,\,&=4{\pi }{\rho }\\\nabla \times {\vec {H}}&={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\end{aligned}}$$

其中${\vec {D}}=\varepsilon (\omega ){\vec {B}}$為電位移，${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu (\omega )}}={\vec {B}}$為磁場強度。

透過傅立葉變換得： $${\begin{aligned}i{\vec {k}}\cdot {\vec {D}}({\vec {k}},\omega )\,\,\,&=4{\pi }{\rho }({\vec {k}},\omega )\\i{\vec {k}}\times {\vec {H}}({\vec {k}},\omega )&={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )-{\frac {i\omega }{c}}{\vec {D}}({\vec {k}},\omega )\end{aligned}}$$

傅立葉形式的電磁場與電位及磁向量勢關係為： $${\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )&=-i{\vec {k}}\Phi ({\vec {k}},\omega )+{\frac {i\omega }{c}}{\vec {A}}({\vec {k}},\omega )\\{\vec {B}}({\vec {k}},\omega )&=i{\vec {k}}\times {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )\end{aligned}}$$

帶入洛倫茨規範條件以及上述幾式並簡化，得：

$$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$ $$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )$$

對於一個帶電量$ze$（$e$為基本電荷），以速度${\vec {v}}$移動的粒子，電荷密度和電流密度可表示為 $\rho ({\vec {x}},t)=q\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)$ 和 ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$，透過傅立葉變換得: $$\rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {q}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})$$ $${\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$

帶入前面的算式，能得出傅立葉形式的電位：

$$\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2q}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$ 和磁向量勢:$${\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$

帶回傅立葉形式的電磁場與電位及磁向量勢關係： $${\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )$$ $${\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$ 為求得輻射能量，我們考慮在垂直粒子軌跡某距離處做為頻率函數的電場，例如$(0,b,0)$，其中$b$為撞擊參數。由傅立葉逆變換給出： $${\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}$$

首先計算電場的$x$分量 $E_{1}$(平行於${\vec {v}}$): $$E_{1}(\omega )={\frac {2iq}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$ 為了簡潔起見，我們定義${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$。將積分分解為$k_{1},k_{2},k_{3}$三個部分，$k_{1},$部分可以立即透過狄拉克δ函数的定義積分得： $$E_{1}(\omega )=-{\frac {2iq\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}$$

$k_{3}$部分積分後得 ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$，因此：

$$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}$$

$k_{2}$部分的積分為修正貝索函數，因此可得到平行分量： $$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)$$

對其他場分量進行相似的計算，得：

$E_{2}(\omega )={\frac {q}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad$ 和$\quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

我們現在可以考慮每粒子行經距離$dx_{\text{particle}}$所輻射的能量$dE$。其可以表示成通過一半徑為$a$，包圍著粒子移動路徑的無限長圓柱體的電磁能量流$P_{a}$，即為坡印廷向量$\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$對此圓柱體面的積分： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx$$

對一瞬間的$dx$積分與對一個點上的所有時間積分等價。利用 $dx=v\,dt$： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\,dt$$

轉換到頻率的定義域： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\,d\omega \right)$$

為了討論契忍可夫輻射的定義域，我們現在考慮垂直距離$b$遠大於介質中的原子距離，即$|\lambda b|\gg 1$。有了這個假設，我們可以將貝塞爾函數展開為漸近形式： $$E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {iq\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}$$

$E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {q}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}$ 和 $B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

因此：

$$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)$$

如果$\lambda$含有正實數部(通常是如此)，指數項將導致上式在遠距離處迅速消失，意即能量集中存在路徑附近。然而，若$\lambda$是純虛數則將不會如此–這將導致指數項變成1，並不再與$a$有關，這代表有部分能量以輻射的形式逃逸至無窮遠處–這便是契忍可夫輻射。

若$\lambda$是純虛數，則需要$\varepsilon (\omega )$為實數並且 $\beta ^{2}\varepsilon (\omega )>1$。也就是說，當$\varepsilon (\omega )$是實數時，契忍可夫輻射的條件為${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$。這就是契忍可夫輻射必須發生於粒子的速度大於介質中電磁場在頻率$\omega$下的相速度的陳述。

藉由$\lambda$為純虛數的條件，得 ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ 且積分可簡化為： $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{\varepsilon (\omega )>{\frac {1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)\,d\omega ={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$

這便是高斯單位制下的弗蘭克–塔姆公式

參考文獻

• Mead, C. A. Quantum Theory of the Refractive Index. Physical Review. 1958, 110 (2): 359. Bibcode:1958PhRv..110..359M. doi:10.1103/PhysRev.110.359. 
• Cerenkov, P.A. Visible Radiation Produced by Electrons Moving in a Medium with Velocities Exceeding that of Light. Physical Review. 1937, 52 (4): 378. Bibcode:1937PhRv...52..378C. doi:10.1103/PhysRev.52.378. 

外部連結

• Cherenkov radiation (Tagged ‘Frank-Tamm formula’)