泊松括號

在數學及经典力學中，泊松括號是哈密顿力學重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間推移的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松而命名。

正則坐標

在相空间里，用正則坐標 $(q^{i},p_{j})$ ，两个函数$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 的泊松括號具有如下形式：

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right].$

运动方程

哈密顿-雅可比运动方程有一个使用泊松括号的等价表示。这可最直接地用坐标系表示。假设 $f(p,q,t)$ 是流形商一个函数。则我们有

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$

然后，取 $p=p(t)$ 与 $q=q(t)$ 为哈密顿-雅可比方程 ${\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}$ 与 ${\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}$ 的解，我们有

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}.$

从而，辛流形上一个函数 f 的演化可用辛同胚单参数族给出，以时间 t 为参数。丢掉坐标系，我们有

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\cdot \,\}\right)f.$

算子 $-\{\,H,\cdot \,\}$ 称为刘维尔量。

定義

泊松括號是雙線性映射把兩個在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函數映射到一个函數。具体来讲，如果我们有两个函数f和g，则

$\{f,g\}={\tilde {\omega }}(df,dg)$

這裡的 ω 是辛形式(symplectic form), ${\tilde {\omega }}$是双向量，使得若把 ω 看成為從向量到微分形式的映射，${\tilde {\omega }}$ 则是从微分形式到向量的线性映射，对所有微分形式 α满足$\omega ({\tilde {\omega }}(\alpha ))=\alpha$,这里d表示外导数。双向量 ${\tilde {\omega }}$ 有时称为辛流形上的泊松結構。

李代數

泊松括號是反交换的，也滿足雅可比恒等式。这使得辛流形上的光滑函数空间成为無限維的李代數，以泊松括號为李括號。相应的李群是辛流形的辛同胚群（也稱為正則變換）。

给定一个可微切丛上的向量场 X，令$P_{X}$为其共轭动量。这个从场到共轭动量的映射为从泊松括號到李括號的李代數反同态：

$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}\,$。

这个重要结果值得我们给个简短证明。记位形空间的 q 点的向量场 X 为

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

其中 $\partial /\partial q^{i}$ 是局部坐标系。X的共轭动量的表达式为

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

这里 $p_{i}$ 为和坐标共轭的动量函数。这样就有，对相空间的每点 $(q,p)$，

$\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)=\sum _{i}\sum _{j}\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\}$

$=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}$

$=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)$

$=-P_{[X,Y]}(q,p)\,$

以上对所有 $(q,p)$ 成立，证毕。

另见

• 泊松代數
• 超泊松代數
• 超泊松括號