散度

设某量场由

$\mathbf {A} (x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf {i} +Q(x,y,z)\mathbf {j} +R(x,y,z)\mathbf {k}$，

给出，其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向曲面，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量，则$\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} dS$叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量(或流量)，而${\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}$叫做向量场A的散度，记作 div A，即

$div\mathbf {A} ={\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}$

性质

以下的性质都可以从常见的求导法则推出。最重要的是，散度是一个线性算子，也就是说：

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

其中F和G是向量场，a和b是实数。

设φ是标量函数，F是向量场，则它们的乘积的散度为：

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$

或

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

设有两个向量场F和G，则它们的向量积的散度为：

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} (\mathbf {G} ),$

或

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

其中$\operatorname {curl}$是旋度。

参阅

• 旋度
• 梯度