邻域

在平面上集合 V 是点 p 的邻域，如果围绕 p 小圆盘包含在 V 中。

矩形不是它的任何一角的邻域。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

这个概念密切关联于开集和内部的概念。

定义

如果 X 是拓扑空间 而 p 是 X 中的一个点， X 的子集 V 包含了包含 p 的开集 U ，则 V 是 p 的邻域

$p\in U\subseteq V$。

这等价于$p\in X$且在 V 的内部

注意 V 自身不必须是开集。如果 V 是开集则它被称为开邻域。某些作者要求邻域是开集，所以注意约定是很重要的。

一个点的所有邻域的集合叫做在这点上的邻域系统。

如果 S 是 X 的子集，S 的邻域是集合 V，它包含了包含 S 的开集 U。可得出集合 V 是 S 的邻域，当且仅当它是在 S 中的所有点的邻域。

在度量空间中

平面上的集合 S 和 S 的一致邻域 V。

在度量空间 M = (X,d) 中，集合 V 是点 p 的邻域，如果存在以 p 为中心和半径为 r 的开球，

$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

它被包含在 V 中。

V 叫做集合 S 的一致邻域，如果存在正数 r 使得对于 S 的所有元素 p，

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

被包含在 V 中。

对于 r>0 集合 S 的 r-邻域 $S_{r}$ 是 X 中与 S 的距离小于 r 的所有点的集合(或等价的说 $S_{r}$ 是以 S 中一个点为中心半径为 r 的所有开球的并集)。

可直接得出 r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个 r 值的 r-邻域。

例子

给定实数集合 R 带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集 V

$V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)$，

则 V 是自然数集合 N 的邻域，但是不是这个集合的一致邻域。

基于邻域的拓扑

上述定义在开集的概念早已定义的条件下是有用的。有一种可供替代的方式来定义拓扑，通过首先定义邻域系统，并接着定义开集为包含它们的每个点的邻域的集合那些集合。

在 X 上的邻域系统是滤子 N(x)(在集合 X 上)到每个 X 中的 x 的指派，使得

1. 点 x 是每个 N(x) 中的 U 的元素，
2. 每个 N(x) 中的 U 包含某个 N(x) 中的 V 使得对于每个 V 中的 y 有着 U 在 N(y) 中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

• Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 

• Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 

• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

参见

• 局部基
• 第一可数空间