极值

在数学中，最大值与最小值（又被称为极值）是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域(这时极值称为最值)。

定义

局部最大值: 如果存在一个 ε > 0, 使的所有满足|x-x^*| < ε 的x都有f(x^*) ≥ f(x) 我们就把点x^*称为一个函数 f 的局部最大值. 从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。

局部最小值：如果存在一个 ε > 0, 使的所有满足|x-x^*| < ε 的x都有f(x^*) ≤ f(x) 我们就把点x^*称为一个函数 f 的局部最小值. 从函数图像上看，局部最小值就像是山谷的底部。

全局（或称'绝对'）最大值如果点x^* 对于任何x都满足f(x^*) ≥ f(x)，则点点x^*称为全局最大值.同样如果如果点x^* 对于任何x都满足f(x^*) ≤ f(x)，则点点x^*称为全局最小值. 全局最值一定是局部极值，反之则不然.

极值的概念不仅仅限于定义在实数域上的函数.定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值. 为了定义局部极值,函数值必须为实数,同时此函数的定义域上必须能够定义邻域. 邻域的概念使得在x的定义域上可以有|x - x^*| < ε.

局部最大值（最小值）也被称为极值(或局部最优值),全局最大值（最小值）也被称为最值(或全局最优值).

求全局极值是最优化方法的目的.对于一元二阶可导函数,求极值的一种方法是求驻点(亦称为静止点，停留点，英文原文为, stationary point),也就是求一阶导数为零的点.如果在驻点(的二阶导数为正,那么这个点就是局部最小值;如果二阶导数为负，则是局部最大值;如果为零,则还需要进一步的研究.

一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零，而N+1阶导数不为零，则当N是偶数且N+1阶导数为正时，该点为极小值；当N是偶数且N+1阶导数为负时，该点为极大值；如果N是奇数，则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内,则还要检查局域的边界点.

函数 $x^{2}$ 有惟一最小值,在x = 0　处取得.
函数 $x^{3}$ 没有最值,也没有极值，尽管其一阶导数 $3x^{2}$ 在'x = 0处也为 0 .因为其二阶导数(6x) 在该点也是0，但三阶导数不是零.
函数cos(x)有无穷多个最大值，0, ±2π, ±4π, ..., 与无穷多个最小值　±π, ±3π, ... .

对于多变量函数，同样存在在极值点的概念,但是也有鞍点的概念.