質數定理

素数定理描述素数的大致分佈情況。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}$

其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)$，當 x 趨近∞。

其中${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}$（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

x	π(x)	π(x) - x/ln(x)	Li(x) - π(x)	x/π(x)
101	4	0	2	2.500
102	25	3	5	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1,229	143	17	8.137
105	9,592	906	38	10.430
106	78,498	6,116	130	12.740
107	664,579	44,159	339	15.050
108	5,761,455	332,774	754	17.360
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.670
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.980
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.280
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.900
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.200
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.510
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,392	3,214,632	35.810
4 •1016	1,075,292,778,753,150	28,929,900,579,949	5,538,861	37.200

素数定理可以給出第n個素数p(n)的漸近估計：

$p(n)\sim n\ln \,n.$

它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素数的概率大約是1/ln n。

這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)$

至於大O項的常數則還未知道。

初等證明

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素数定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。