伽羅瓦理論

在数学中，特别是抽象代数理论中，由埃瓦里斯特·伽罗瓦得名的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系。应用伽罗瓦理论，域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。

伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与根之间的关系。由戴德金、利奥波德·克罗内克、埃米爾·阿廷等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。

伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。

在经典问题上的应用

伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题：

"为什么五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根？"

伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程有代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。

伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：

"哪些正多边形是可以尺规做出的？"

"为何不能三等分任意角？"

伽罗瓦理论的置换群描述

如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根 A 和 B，它们满足方程 A² + 5B³ = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换：这些根所满足的任何代数方程，在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。（其实也可以把系数限定在其他的一个给定的域，但是为了简单起见，我们限制在有理数域。）

这些置换形成了一个置换群，也称为这个多项式（在实数域上）的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

第一个例子：二次方程

考虑如下的一元二次方程：

x² − 4x + 1 = 0.

应用一元二次方程的求根公式，我们可以求出它的两个根为

A = 2 + √3,   和

B = 2 − √3.

A 和 B 满足的代数方程例如：

A + B = 4,   和

AB = 1.

显然在这些方程中，如果我们交换 A 和 B，我们同样能得到真命题。例如，方程 A + B = 4 简单的变成了 B + A = 4。进一步的，这对于 A 和 B 满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出，多项式 x² − 4x + 1 的伽罗瓦群由两个置换构成：保持 A 和 B 不变的恒同变换，以及交换 A 与 B 位置的对换。它是一个二阶循环群，因此同构于 Z/2Z。

这里会有人产生疑问： A 和 B 同样满足另一个代数方程 A − B − 2√3 = 0，但交换 A 和 B 时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题，因为它不是有理系数方程：√3 是一个无理数。

类似地可以讨论任意二次多项式 ax² + bx + c, 其中 a, b 和 c 都是有理数。

• 如果多项式只有一个根，例如 x² − 4x + 4 = (x−2)², 那么伽罗瓦群是平凡的；也就是说，它只包括恒同变换。
• 如果多项式有两个不同的有理根，例如 x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), 伽罗瓦群同样是平凡的。
• 如果多项式有两个无理根(包括根是复数的情况), 那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

第二个例子 — 有些技巧性

考虑多项式

x⁴ − 10 x² + 1,

也可以写成

(x² − 5)² − 24.

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：

A = √2 + √3,

B = √2 − √3,

C = −√2 + √3,

D = −√2 − √3.

这四个根有 24 种可能的排列，但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有 A, B, C 和 D 满足的有理系数代数方程。这样的方程例如：

A + D = 0.

因此置换

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

是不允许的，因为它把真等式 A + D = 0 变成了假等式 A + C = 0，因为 A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为：

(A + B)² = 8.

这也会去掉一些置换，例如：

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群.

现代的域论描述

现代的研究方法是从代数扩张 L/K 开始，并分析 L/K 的自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群的文章。

这两种描述的关系如下说明。问题中的多项式的系数应当属于基域 K。扩域 L 应当是在域 K 中添加多项式的根之后所得到的域。 任一满足上述保持多项式性质的根的置换，都对应 L/K 的一个自同构，反之亦然。

在上面的第一个例子中，我们研究的是域扩张 Q(√3)/Q，其中 Q 是有理数域，而 Q(√3) 是在 Q 中加入 √3 之后所得到的域。在第二个例子中，我们研究的是域扩张 Q(A,B,C,D)/Q。

现代的方法比起置换群的方法，有几点优势：

• 它使得伽罗瓦理论基本定理的描述更为简洁；
• 在数学中的很多其他领域需要使用 Q 以外的基域。例如，在代数数论中，人们经常在代数数域、有限域和局部域上应用伽罗瓦理论。
• 它使人们更容易研究无穷扩张。这在代数数论中同样很重要，例如人们经常需要研究 Q 的绝对伽罗瓦群，即当 K 是 Q 的一个代数闭包时，K/Q 的伽罗瓦群。
• 它使得人们可以研究可分扩张。这在经典框架中并不成为问题，因为这时总是可以假定为特征0的；但在数论和代数几何中经常出现特征非0的情况。
• 它去除了人们对多项式求根的依赖性。也就是说，不同的多项式可能产生同一个扩域，现代的方法可以识别这些多项式之间的联系。

可解群和根式解

群論中可解群的概念讓我們得以確定多項式何時有根式解。有根式解的充要條件是其分裂域 $L$ 對基域 $F$ 的伽羅瓦群可解。簡言之，取此伽羅瓦群的任一合成列，透過伽羅瓦理論基本定理，合成列對應到一族子域 $L=L_{n}\supset L_{n-1}\supset \cdots \supset L_{0}=F$，各段 $L_{i+1}/L_{i}$ 的伽羅瓦群一一對應於合成列的因子。若 $L_{i+1}/L_{i}$ 之伽羅瓦群是 n 階循環群，則域擴張 $L_{i+1}/L_{i}$ 由 n 次根式生成。伽羅瓦群可解若且唯若合成列的因子皆為循環群，於是若群可解，相應方程便有根式解。反向的結果亦不難證明。

伽羅瓦理論的重大成就之一是證明了當 $n>4$ 時，一般的 $n$ 次多項式無根式解（「一般」意謂將多項式係數視為獨立變元），原因是對稱群 $S_{n}$ 在 $n>4$ 時不可解。

例子：一個不可解的五次方程

考慮整係數多項式 $f(x)=x^{5}-x-1$。根據一次因式檢驗法，$f(x)$ 無有理根。由整係數之故，模任意素數 $p$ 後可視之為有限域上的多項式 ${\bar {f}}_{p}$，相應的伽羅瓦群記為 ${\bar {G}}_{p}$。取 $p=2,3$，易見 ${\bar {f}}_{p}$ 在 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 上無一次因式。

${\bar {f}}_{2}$ 可分解為 $(x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)$，故 ${\bar {G}}_{2}$ 為六階循環群。

${\bar {f}}_{3}$ 無二次因子，故 ${\bar {G}}_{3}$ 為五階循環群。

注意到 ${\bar {G}}_{p}$ 是 $f(x)$ 的伽羅瓦群的子商。$S_{5}$ 的子群若含有六階及五階元素，則該子群生成 $S_{5}$。於是 $f(x)$ 的伽羅瓦群為 $S_{5}$，故無根式解。

参考文献

• Emil Artin. Galois Theory. Dover Publications. 1998. ISBN 0-486-62342-4. 
• Jörg Bewersdorff. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. 2006. ISBN 0-8218-3817-2.  .
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I (2nd ed). W.H. Freeman and Company. 1985. ISBN 0-7167-1480-9. 
• M. M. Postnikov. Foundations of Galois Theory. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43518-0. 
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall. 1989. ISBN 0-412-34550-1. 
• Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag. 1984. ISBN 0-387-90980-X. 
• B. L. van der Waerden, 'Algebra' (1930)
• Helmut Völklein, Groups as Galois Groups: An Introduction, Cambridge University Press (1996).
• Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).

外部链接

以下是一些網上的教學資料：

• ABSTRACT ALGEBRA ON LINE: Galois Theory （英文）
• nrich.maths.org Mathematics Enrichment: An Introduction to Galois Theory （英文）

中英夾雜的教學資料：

• 簡介 Galois 理論 /李華介

以下網站提供法文、德文、義大利文及英文版的線上教材：

• Evariste Galois: whatsnew （英文）

en:Galois theory