伽羅瓦理論

在數學中，特別是抽象代數理論中，由埃瓦里斯特·伽羅瓦得名的伽羅瓦理論提供了域論和群論之間的聯繫。應用伽羅瓦理論，域論中的一些問題可以化簡為更簡單易懂的群論問題。

伽羅瓦最初使用置換群來描述給定的多項式的根與根之間的關係。由戴德金、利奧波德·克羅內克、埃米爾·阿廷等人發展起來的現代伽羅瓦理論引入了關於域擴張及其自同構的研究。

伽羅瓦理論的進一步抽象為伽羅瓦連接理論。

在經典問題上的應用

伽羅瓦理論的誕生最初是由於如下的現在稱之為阿貝爾-魯菲尼定理的問題：

"為什麼五次及更高次的代數方程沒有一般的代數解法，即這樣的方程不能由方程的係數經有限次四則運算和開方運算求根？"

伽羅瓦理論不僅對於這個問題提供了一個漂亮的解答，而且詳細的解釋了為什麼四次及更低次方程有代數解，以及它們的代數解為什麼是那樣的形式。

伽羅瓦理論還給出了一些有關尺規作圖的問題的清晰洞察。它給出了所有可以尺規作圖的長度比的一個優雅的描述。這樣，一些經典幾何問題的解答變得相對容易：

"哪些正多邊形是可以尺規做出的？"

"為何不能三等分任意角？"

伽羅瓦理論的置換群描述

如果我們給定一個多項式，它的一些根可能是被不同的代數方程聯繫起來的。例如，有兩個根 A 和 B，它們滿足方程 A² + 5B³ = 7。伽羅瓦理論的核心思想是考慮具有以下性質的根的置換：這些根所滿足的任何代數方程，在置換之後也依然成立。一個重要的限制條件是我們要把代數方程的係數限定為有理數。（其實也可以把係數限定在其他的一個給定的域，但是為了簡單起見，我們限制在有理數域。）

這些置換形成了一個置換群，也稱為這個多項式（在實數域上）的伽羅瓦群。這可以很清晰的舉例說明。

第一個例子：二次方程

考慮如下的一元二次方程：

x² − 4x + 1 = 0.

應用一元二次方程的求根公式，我們可以求出它的兩個根為

A = 2 + √3,   和

B = 2 − √3.

A 和 B 滿足的代數方程例如：

A + B = 4,   和

AB = 1.

顯然在這些方程中，如果我們交換 A 和 B，我們同樣能得到真命題。例如，方程 A + B = 4 簡單的變成了 B + A = 4。進一步的，這對於 A 和 B 滿足的所有可能的代數方程都成立。證明這個結論需要對稱多項式的理論。

我們可以總結出，多項式 x² − 4x + 1 的伽羅瓦群由兩個置換構成：保持 A 和 B 不變的恆同變換，以及交換 A 與 B 位置的對換。它是一個二階循環群，因此同構於 Z/2Z。

這裡會有人產生疑問： A 和 B 同樣滿足另一個代數方程 A − B − 2√3 = 0，但交換 A 和 B 時這個方程並不能保持不變。其實這並不是個問題，因為它不是有理係數方程：√3 是一個無理數。

類似地可以討論任意二次多項式 ax² + bx + c, 其中 a, b 和 c 都是有理數。

• 如果多項式只有一個根，例如 x² − 4x + 4 = (x−2)², 那麼伽羅瓦群是平凡的；也就是說，它只包括恆同變換。
• 如果多項式有兩個不同的有理根，例如 x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), 伽羅瓦群同樣是平凡的。
• 如果多項式有兩個無理根(包括根是複數的情況), 那麼伽羅瓦群包括上面例子中所描述的兩個置換。

第二個例子 — 有些技巧性

考慮多項式

x⁴ − 10 x² + 1,

也可以寫成

(x² − 5)² − 24.

我們同樣希望在有理數域上描述這個多項式的伽羅瓦群。這個多項式有四個根：

A = √2 + √3,

B = √2 − √3,

C = −√2 + √3,

D = −√2 − √3.

這四個根有 24 種可能的排列，但這些排列並不都是伽羅瓦群的元素。伽羅瓦群的元素必須保持所有 A, B, C 和 D 滿足的有理係數代數方程。這樣的方程例如：

A + D = 0.

因此置換

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

是不允許的，因為它把真等式 A + D = 0 變成了假等式 A + C = 0，因為 A + C = 2√3 ≠ 0.

這些根滿足的另一個等式為：

(A + B)² = 8.

這也會去掉一些置換，例如：

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

如此繼續下去，我們可以求出滿足所有等式的置換隻有：

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

因此伽羅瓦群同構於克萊因四元群.

現代的域論描述

現代的研究方法是從代數擴張 L/K 開始，並分析 L/K 的自同構群。進一步的解釋和例子請參見關於伽羅瓦群的文章。

這兩種描述的關係如下說明。問題中的多項式的係數應當屬於基域 K。擴域 L 應當是在域 K 中添加多項式的根之後所得到的域。 任一滿足上述保持多項式性質的根的置換，都對應 L/K 的一個自同構，反之亦然。

在上面的第一個例子中，我們研究的是域擴張 Q(√3)/Q，其中 Q 是有理數域，而 Q(√3) 是在 Q 中加入 √3 之後所得到的域。在第二個例子中，我們研究的是域擴張 Q(A,B,C,D)/Q。

現代的方法比起置換群的方法，有幾點優勢：

• 它使得伽羅瓦理論基本定理的描述更為簡潔；
• 在數學中的很多其他領域需要使用 Q 以外的基域。例如，在代數數論中，人們經常在代數數域、有限域和局部域上應用伽羅瓦理論。
• 它使人們更容易研究無窮擴張。這在代數數論中同樣很重要，例如人們經常需要研究 Q 的絕對伽羅瓦群，即當 K 是 Q 的一個代數閉包時，K/Q 的伽羅瓦群。
• 它使得人們可以研究可分擴張。這在經典框架中並不成為問題，因為這時總是可以假定為特徵0的；但在數論和代數幾何中經常出現特徵非0的情況。
• 它去除了人們對多項式求根的依賴性。也就是說，不同的多項式可能產生同一個擴域，現代的方法可以識別這些多項式之間的聯繫。

可解群和根式解

群論中可解群的概念讓我們得以確定多項式何時有根式解。有根式解的充要條件是其分裂域 $L$ 對基域 $F$ 的伽羅瓦群可解。簡言之，取此伽羅瓦群的任一合成列，透過伽羅瓦理論基本定理，合成列對應到一族子域 $L=L_{n}\supset L_{n-1}\supset \cdots \supset L_{0}=F$，各段 $L_{i+1}/L_{i}$ 的伽羅瓦群一一對應於合成列的因子。若 $L_{i+1}/L_{i}$ 之伽羅瓦群是 n 階循環群，則域擴張 $L_{i+1}/L_{i}$ 由 n 次根式生成。伽羅瓦群可解若且唯若合成列的因子皆為循環群，於是若群可解，相應方程便有根式解。反向的結果亦不難證明。

伽羅瓦理論的重大成就之一是證明了當 $n>4$ 時，一般的 $n$ 次多項式無根式解（「一般」意謂將多項式係數視為獨立變元），原因是對稱群 $S_{n}$ 在 $n>4$ 時不可解。

例子：一個不可解的五次方程

考慮整係數多項式 $f(x)=x^{5}-x-1$。根據一次因式檢驗法，$f(x)$ 無有理根。由整係數之故，模任意素數 $p$ 後可視之為有限域上的多項式 ${\bar {f}}_{p}$，相應的伽羅瓦群記為 ${\bar {G}}_{p}$。取 $p=2,3$，易見 ${\bar {f}}_{p}$ 在 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 上無一次因式。

${\bar {f}}_{2}$ 可分解為 $(x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)$，故 ${\bar {G}}_{2}$ 為六階循環群。

${\bar {f}}_{3}$ 無二次因子，故 ${\bar {G}}_{3}$ 為五階循環群。

注意到 ${\bar {G}}_{p}$ 是 $f(x)$ 的伽羅瓦群的子商。$S_{5}$ 的子群若含有六階及五階元素，則該子群生成 $S_{5}$。於是 $f(x)$ 的伽羅瓦群為 $S_{5}$，故無根式解。

參考文獻

• Emil Artin. Galois Theory. Dover Publications. 1998. ISBN 0-486-62342-4. 
• Jörg Bewersdorff. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. 2006. ISBN 0-8218-3817-2.  .
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I (2nd ed). W.H. Freeman and Company. 1985. ISBN 0-7167-1480-9. 
• M. M. Postnikov. Foundations of Galois Theory. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43518-0. 
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall. 1989. ISBN 0-412-34550-1. 
• Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag. 1984. ISBN 0-387-90980-X. 
• B. L. van der Waerden, 'Algebra' (1930)
• Helmut Völklein, Groups as Galois Groups: An Introduction, Cambridge University Press (1996).
• Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).

外部連結

以下是一些網上的教學資料：

• ABSTRACT ALGEBRA ON LINE: Galois Theory （英文）
• nrich.maths.org Mathematics Enrichment: An Introduction to Galois Theory （英文）

中英夾雜的教學資料：

• 簡介 Galois 理論 /李華介

以下網站提供法文、德文、義大利文及英文版的線上教材：

• Evariste Galois: whatsnew （英文）

en:Galois theory