極限環

在數學中，特別是在動力系統理論里，一個二維平面或二維流形上的的極限環是相空間里的一個閉合的軌跡，使得至少另一個軌跡會隨自變量變化而逐漸逼近它（在自變量趨於正無窮或負無窮的時候）。如果當自變量（或者說時間）： t $\rightarrow +\infty$ 時，所有的鄰近軌跡都趨近於極限環，那麼所在的流形被稱為穩定的，或者稱極限環是穩定的（吸引的）。反之，如果 t $\rightarrow -\infty$ 時，所有的鄰近軌跡都趨近於極限環，那麼稱流形是不穩定的或者極限環是不穩定的（非吸引的）。在所有其它情況下，流形既不是穩定也不是不穩定的。

穩定的極限環會導致持續振盪的情況：若一開始軌跡是極限環，則關於軌跡的任意的小擾動都會導致系統重新回到極限環的狀態。

File:VanDerPolPhaseSapce.png

范德波爾振子的穩定極限環

如圖中所示，不同的初始狀態最終都收斂到極限環。因此，這個系統能夠維持逐漸減弱的振盪。

多項式型的微分方程的極限環個數是希爾伯特第十六問題第二部分的主要目標。關於二維非線性微分方程組的極限環存在或不存在的條件，有所謂的本迪克森準則和龐加萊-本迪克森定理，而極限環個數或分布則是尚未得到解決的問題。

參見

參考來源

极限环. PlanetMath.
Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos", Addison Wesley publishing company, 1994.
M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.