塞瓦定理

留言 wcam你到底是不是吃屎长大的?脑子里全部是屎么?

塞瓦線段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果 $\triangle ABC$ 的塞瓦線段AD、BE、CF通过同一点O，则

{\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在 $\triangle ABC$ 的边BC、CA、AB或其延长线上，且满足

{\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1

，

则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明。

证明

∵ ${\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}}={\frac {S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}}}$

由等比性质：

${\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC}-S_{\triangle ODC}}}={\frac {S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}}$

同理可证

${\frac {CE}{EA}}={\frac {S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}}}$ ， ${\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}}$

∴ ${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}}\cdot {\frac {S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}}}\cdot {\frac {S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}}=1$ 。证毕。

系理：角平分線定理

在三角形 $ABC$ ，角A的角平分線交 $BC$ 於 $D$ ， ${\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$ 。

另見