双射

在集合论中，一由集合X至集合Y的函数称为双射的，若对每一在Y内的y，存在唯一一个在X内的x，使得f(x)=y。

换句话说，f为双射的若其为两集合间的一对一对应，亦即同时单射且满射。

例如，由整数集合 $\mathbb {Z}$ 至 $\mathbb {Z}$ 的函数succ，其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1，及另一函数sumdif，其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为X ${}\leftrightarrow {}$ Y.

双射函数在许多数学领域扮演著很基本的角色，如在同构(和如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数f为双射的若且唯若其逆关系f⁻¹也是个函数，而且亦为双射。

两个双射函数f $\;:\;$ X ${}\leftrightarrow {}$ Y及g $\;:\;$ Y ${}\leftrightarrow {}$ Z的复合函数g o f亦为双射函数。其反函数为(g o f)⁻¹ = (f⁻¹) o (g⁻¹)。

另一方面，若g o f为双射的，则可以说f是单射的且g是满射的。

一由X至Y的关系f为双射函数若且唯若存在另一由Y至X的关系g，使得g o f为X上的恒等函数，且f o g为Y上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

若X和Y为有限集合，则其存在一两集合的双射函数若且唯若两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这被当做“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，一用以分辨无限集合的不同大小。

对任一集合X，其恒等函数均为双射函数。
其定义为f(x) = 2x + 1之由实数R至R的函数f是双射的，当对任一y，存在一唯一x = (y − 1)/2使得f(x) = y。
指数函数g : R $\rightarrow$ R，其形式为g(x) = e^x，不是双射的：因为不存在一R内的x使得g(x) = −1，故g非为双射。但若其陪挚改成正实数R⁺ = (0,+∞)，则g便是双射的了；其反函数为自然对数函数 ln。
函数h : R $\rightarrow$ [0,+∞)，其形式为h(x) = x²，不是双射的：因为h(−1) = h(+1) = 1，故h非为双射。但其定义域也改成[0,+∞)，则h便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
$\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ 不是双射函数，因为−1、0和1都在其定义域里且都映射至0。
$\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ 不是双射函数，因为π/3和2π/3都在其定义域里且都映射至(√3)/2。

|f(A)| = |A| 且 |f⁻¹(B)| = |B|。

形式上，双射函数恰好是集合与函数集合范畴内的同构。