环 (代数)

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环的定義类似于可交换群，只不过在原有的「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义

集合R和定义于其上的二元运算 + 和·，(R, +, ·)构成一个环，若它们满足：

1. (R, +)形成一个交换群，其幺元称为零元素，记作‘0’。即：
   • (a + b) = (b + a)
   • (a + b) + c = a + (b + c)
   • 0 + a = a + 0 = a
   • ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
2. (R, ·)形成一个半群，即：
   • (a·b)·c = a·(b·c)
3. 乘法关于加法满足分配律：
   • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
   • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

其中，乘法运算符·常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

基本性质

考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：

• ∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的幺元，却被称为“零元素”）
• ∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

环的相关概念

特殊的环

幺环

若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  • R\{0}对乘法形成半群；
  • R\{0}对乘法封闭；
  • R中非0元素的乘积非0；

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a^{-1}∈R\{0}，使得a^{-1}·a=a·a^{-1}=1。则R称为除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 交换的除环是域。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

素环

例子

• 集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  • R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  • R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  • R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

• 整数环是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

主条目：理想

考虑环(R, +, )，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，则称I为R的右理想，若I满足：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，有ir ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若I满足：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，有ri ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

基本性质

• 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
• 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
• 对于环R的两个理想A，B，记$AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$。则由定义易知：
  1. 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
  2. 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
  3. 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
• 如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
  1. 当R是交换环时，<A>=RA+ZA
  2. 当R是幺环时，<A>=RAR
  3. 当R是交换幺环时，<A>=RA

相关概念

• 主理想：如果$A=a_{1},a_{2}\cdots a_{n}$是个n元集合，则记$\left\langle A\right\rangle =\left\langle a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\right\rangle$，称$\left\langle A\right\rangle$是有限生成理想.特别当$A=\left\{a\right\}$是单元素集时，称$\left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle$为环R的主理想。注意$\left\{a\right\}$作为生成元一般不是唯一的，如$\left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle$。$\left\langle a\right\rangle$的一般形式是：

$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}$

• 性质：$\left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle$

几类特殊环中的主理想：

• (1) 如果是交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}$

• (2) 如果是有单位元的环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}$

• (3) 如果是有单位元的交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}$

• 真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。

• 极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。

• 极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果$I\neq R$并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
  • (1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
  • (2)极大理想未必是极大左理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
• 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
• 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环$R/I$是域。
• 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有$I+J=R$。

• 素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， $AB\subseteq I$ 可推出 $A\subseteq I$或 $B\subseteq I$。
• 素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：$R/I$是素环.
• 半素理想：设 I 是环R的理想，并且$I\neq R$。如果对任意理想P，由$P^{2}\subseteq I$，可得$P\subseteq I$，则称 I 是环R的半素理想。

　　显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

有关环的其它概念

• 零因子 (zero divisor)：
  主条目：零因子

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；