质数定理

素数定理描述素数的大致分布情况。

素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。

$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}$

其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x)和x/ln x的比趋近1。但这不表示它们的数值随著x增大而接近。

下面是对π(x)更好的估计：

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)$，当x 趋近∞。

其中${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}$（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)：

x	π(x)	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939

素数定理可以给出第n个素数p（n）的渐近估计：

$p(n)\sim n\ln \,n.$

它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

这定理的式子于1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家Charles Jean de la Vallée-Poussin先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。

因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)$

至于大O项的常数则还未知道。

初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。

在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。