使用者:Dzlot/加速度

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

加速度是物理學中的一個物理量，是一個矢量，主要應用於經典物理當中，一般用字母$\mathbf {a} \,\!$表示，在國際單位制中的單位為米每二次方秒（$\mathrm {m/s^{2}} \,\!$）。加速度是速度矢量關於時間的變化率，描述速度的方向和大小變化的快慢。

加速度由力引起，在經典力學中因為牛頓第二定律而成為一個非常重要的物理量。在慣性參考系中的某個參考系的加速度在該參考系中表現為慣性力。加速度也與多種效應直接或間接相關，比如電磁輻射。

簡述

感受加速度是如何作用於運動的物體的：某物體受到持續的、向上向下相間的力（箭頭表示），那個箭頭也可以等量地表示加速度。看看這個物體是如何運動的。

簡單地說，速度描述了位置是如何變化的，則加速度描述了速度是如何變化的。比如，你水平向前扔出一個物體，起初它的速度朝向正前，然而不久你就會發現它開始在向前的同時向下墜落，即其速度改變了。這裡改變物體速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。

加速度具有矢量性質，即你需要用大小和方向同時描述一個加速度。在光滑水平面上向前運動的物體，如果你向左或向右施以力，即給予了不同的加速度，則其速度會發生變化，然而向左的加速度和向右的加速度顯然引起了不同的效果。同樣，你施力的大小不同，引起的加速度不同，最終的結果也不一樣。

稍微準確點說，加速度描述的是速度隨時間的變化率。需要注意的是，由於速度也是矢量，因此加速度不為零的物體速度的大小（稱之為速率）也不一定會發生變化，實際上，如果加速度保持與速度垂直，速度大小就一直不會改變，同時方向一直改變。這種情況在生活中最常見的是圓周運動，比如在被拴在一端固定的線的另一端的一個小物體在線保持繃直時做的運動，又比如帶電粒子在僅受靜磁場的洛倫茲力$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\!$時做的運動。

直線運動中的加速度

設質點A在數軸上運動，$t\,\!$時刻位於$x(t)\,\!$處，經過$\Delta t\,\!$時間後位於$x(t+\Delta t)\,\!$處，則定義質點A在$t\,\!$時刻的瞬時速度（簡稱速度）為

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}={\frac {dx}{dt}}\,.$

其中，${\frac {dx}{dt}}\,\!$表示對位移關於時間求一階導數，在時間-位移圖上表現為求斜率。從而定義質點A在$t\,\!$時刻的瞬時加速度（簡稱加速度）為

三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。

$a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,.$

進而有

$v(t)=\int _{t}^{t_{0}}a(t)\,dt+v(t_{0})\,.$

在直線運動時，矢量退化為帶符號的標量，其絕對值表示該物理量的大小。速度為正表示向右，速度為負表示向左。加速度與速度方向相同（即符號相同）時表示物體不斷加速，不同則表示物體不斷減速。

右圖畫出了三個質點在$t=0\,\!$從坐標原點以相同的速度$v_{0}\,\!$出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置$x\,\!$關於時間的曲線。你分別可以將其想象為在光滑桌面上，三個木塊以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。

在位移-時間圖上，加速度由曲線的凹凸性表示，加速度為正的部分表現為凸函數，反之為凹函數。

空間曲線運動中的加速度

設質點A在空間中運動，原點O指向A的矢量$\mathbf {r} \,\!$為其矢徑，則可類似定義其速度矢量和加速度矢量為

$\mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}\,.$

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}\,.$

右圖表示出了兩次微分的過程，為了清晰，這裡我們用差分（$\Delta t\,\!$並不趨於0）近似代替了微分。可以看出，加速度與速度都具有方向和大小，並且即使在同一時刻兩者方向也不一定相同。加速度與速度方向平行的分量表示速度大小的變化率（相同則加速，相反則減速），而與速度垂直的分量表示速度方向的變化率（速度矢量轉動的角速度）。

在$\Delta t\,\!$足夠小時，我們可以將那一小段曲線運動近似看做直線運動。

關於「加加速度」

我們將位移關於時間進行一階求導得到了速度，二階求導得到了加速度。可能會想到，我們可以通過進行三階求導來得到一個諸如「加加速度」的物理量。然而並沒有普遍地這樣做，因為實際應用中，加速度常常是在牛頓第二定律的相關問題中使用；在其它領域使用時，也極少看見需要使用到三階微分的情況。

角加速度

角加速度主要是在定軸轉動的物體上使用，例如，想象一個圓盤和一個垂直插在其中心木棍相固定，兩隻手握住木棍並轉動的情景（與之相對應的是在地上高速旋轉的陀螺，繞定點任意轉動）。在圓盤上做一個標記（如一條半徑），則定軸轉動的物體可以簡單地用一個標量（即一個數）物理量，該物體轉動的角度（也即該標記轉動的角度）來描述。

這種特性可以讓我們聯想到直線運動，因為直線運動也只需要一個標量物理量來描述。因此兩種模型在數學上可以類比：位移、速度、加速度，分別對應角度、角速度、角加速度，我們便可以將直線運動種已有的定律和方法直接帶入，例如，使用已有的勻加速直線運動理論來研究勻加速定軸轉動。

角加速度常用字母$\beta$表示，在國際單位制中的單位為弧度每二次方秒（$\mathrm {rad/s^{2}}$）。其定義式為

$\beta (t)={\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}\,.$

其中，$\theta (t)$為物體轉過的角度。

加速度的分解

處理關於空間加速度矢量的問題，除了直接計算矢量之外，更多的時候我們將加速度按照適當坐標軸分解，即將矢量形式的加速度表示為相互獨立的不同方向上的標量的形式。因為標量的計算要容易很多，因此這是解決問題常用的方法。

平面直角坐標系

在平面直角坐標系中，

$\mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j}$

其中$\mathbf {i} ,\mathbf {j} \,\!$分別為x、y坐標軸上的單位矢量，皆為常矢量。

這種分解方式的優點在於，形式簡便，思維簡單；因為單位矢量不會變化，故質點在三個方向上的投影等價於直線運動，使得問題完全化為代數問題，並且可以直接使用直線運動的已有結論。

極坐標系

在平面的極坐標系中，質點的位置由它到極點的連線長度（半徑）$r$和已知極軸到該半徑的角坐標$\theta$（單位為弧度）共同描述，在某一點處的兩個單位矢量分別為沿半徑向外的$\mathbf {e} _{r}$和垂直於半徑指向角坐標正方向的$\mathbf {e} _{\theta }$。

下面為極坐標系分解的推導。

容易發現，兩個單位矢量會隨質點所處位置不同而變化，並可通過分析得出結論，在質點運動的時候

$d\mathbf {e} _{r}=d\theta \cdot \mathbf {e} _{\theta }\,.$

$d\mathbf {e} _{\theta }=-d\theta \cdot \mathbf {e} _{r}\,.$

其中$d\mathbf {e} _{r}\,\!$代表經過一個小量$dt\,\!$時間該矢量的變化，$d\theta \cdot \mathbf {e} _{\theta }\,\!$代表一個大小為$d\theta \,\!$（角位移的變化）沿$\mathbf {e} _{\theta }\,\!$方向的矢量，以此類推。右圖表現了這個微分的過程。

再加上微分的萊布尼茲法則${\frac {d(a\cdot b)}{dc}}=a\cdot {\frac {db}{dc}}+b\cdot {\frac {da}{dc}}\,\!$，在極坐標系下

${\begin{aligned}\mathbf {v} &={\frac {d(r\cdot \mathbf {e} _{r})}{dt}}\\&={\frac {d(r\cdot \mathbf {e} _{r})}{dt}}\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{dt}}\mathbf {e} _{r}\\\end{aligned}}\,.$

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {d\left(r{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }\right)}{dt}}+{\frac {d\left({\frac {dr}{dt}}\mathbf {e} _{r}\right)}{dt}}\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\mathbf {e} _{\theta }}{dt}}+r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\cdot \mathbf {e} _{r}+{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\mathbf {e} _{r}}{dt}}\\\end{aligned}}\,.$

最後經過簡單的合併，我們得出，在極坐標系中

$\mathbf {a} =\left[{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}+r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }\,.$

幾種特殊的運動

以下為幾種特殊的運動，因為在不同的模型下質點常被不同地近似處理，並且可以得出的結論較之上面的積分式常能極大地簡省計算量，故有研究的價值。另外，還有幾種被命名了的特定加速度。

勻速直線運動

主條目：勻速直線運動

若某質點保持加速度$a=0\,\!$，則其速度$\mathbf {v} \,\!$的大小和方向不會變化，質點將保持在同一直線上以同一速率（速度大小）運動，這種運動被稱作勻速直線運動。特殊地，若速度$v=0\,\!$，則質點靜止。

勻速直線運動主要出現在牛頓第一定律中，該定律表示：「不受任何力或受合力為零的物體作勻速直線運動。」由於自然界中大部分力的隨距離增大而減小，故離所有其它物體足夠遠的某一物體的運動能夠在足夠的精度下被近似為勻速直線運動。這種近似常被用於尋找慣性參考系和粒子物理學的運算當中。

勻變速直線運動

格魯吉亞六旗遊樂場的自由落體機，你從高達數十米的地方由靜止釋放，長長的途中幾乎只受到重力，近似為自由落體運動，使得你落到地面附近時擁有極高的速度。

若某作質點作直線運動並保持加速度$a\,\!$恆定，則質點作勻變速直線運動。在這種情況下，若$t=0\,\!$時刻速度為$v_{0}\,\!$，$t\,\!$時刻速度為$v(t)\,\!$，位移為$s(x)\,\!$，則可由上面積分式得出

$v(t)=v_{0}+at\,.$

${\begin{aligned}s(t)&=v_{0}+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&={\frac {v(t)-v_{0}}{2}}t\\\end{aligned}}\,.$

以及得出

$a={\frac {v(t)^{2}-v_{0}^{2}}{s(t)}}\,.$

自由落體運動 重力加速度

主條目：自由落體

自由落體運動是指初速度為0，加速度恆為豎直向下的重力加速度g的運動，是勻變速直線運動的一種特殊情況。自由落體運動是將地球上的物體下落的狀況進行理想化的抽象模型，當物體在地面附近，且所受空氣阻力遠小於其重力時，在一定精度內可被視作自由落體運動。

加速度恆定的運動

加速度是一個矢量，因此「加速度恆定」暗示加速度的大小和方向都不隨時間變化。

當加速度$\mathbf {a} \,\!$與速度$\mathbf {v} \,\!$不在同一條直線上時，選取適當的坐標系，可以將其按照平面直角坐標系分解，使質點的運動在其中一個坐標軸上的投影為勻速直線運動，另一個方向上為勻變速直線運動。根據獨立作用原理，兩者的合運動（即質點的軌跡）為一條拋物線的一部分。

一個從左向右被拋出的籃球是如何在重力下運動的（拋體運動）。相鄰兩個球影之間有相同的時間間隔。

拋體運動

主條目：平拋運動和斜拋運動

拋體運動具體包括平拋運動和斜（上、下）拋運動，和自由落體運動類似，它是在地球上向不同方向拋出的物體在忽略空氣阻力的情況下的運動狀況進行理想化的抽象模型。物體擁有一個非豎直方向的不為零初速度$\mathbf {v_{0}} \,\!$，和豎直向下、大小恆定為重力加速度g的加速度，落地前的軌跡為一條拋物線的一部分。這也正是拋物線名字的由來。

勻速圓周運動 向心加速度

主條目：勻速圓周運動

若質點以不變的速率（速度大小）沿一個圓周沿同一方向運動，則質點作勻速圓周運動。這時可按照極坐標系分解，會發現

加速度的應用

加速度的伽利略變換

在經典物理下，即速度遠小於光速、研究宏觀物體時，我們使用伽利略變換來研究不同參考系間的加速度的聯繫：

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {a_{S_{1}}} \,.$

其中，$\mathbf {a} \,\!$為物體在原參考系下的加速度（小球相對於車的加速度），$\mathbf {a} '\,\!$為物體在參考系$S_{1}\,\!$下的加速度，$\mathbf {a_{S_{1}}} \,\!$為參考系$S_{1}\,\!$在原參考系下的加速度。考慮站在地上看車上的人拋出一個小球，這個公式告訴你：小球相對於地的加速度，等於小球相對於車的加速度加上車相對於地的加速度。這個式子是矢量表達式，即三個加速度不在同一條直線時，使用矢量加法成立。

在牛頓第二定律上的應用

主條目：牛頓第二定律

加速度最主要的應用之一是牛頓第二定律。簡單地說，牛頓第二定律告訴我們，物體的加速度與其受合力成正比，與質量成反比，方向沿合力方向，在國際單位制中我們表示為

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

其中$\mathbf {F} \,\!$表示物體所受合外力，$m\,\!$為物體質量，$\mathbf {a} \,\!$為物體的加速度。

牛頓第二定律同樣僅在經典物理下適用。此外，牛頓第二定律要求所處參考係為慣性參考系。 由於經典物理的研究幾乎都會或多或少地涉及到物體在力的作用下的運動，又由於牛頓第二定律和伽利略變換的極度簡潔性，使得牛頓第二定律成為了物體受力分析和運動狀況之間的橋梁，從而使加速度成為經典物理中最重要的物理量之一。

加速度與電磁輻射

主條目：電磁輻射

加速度的另一個重要應用之處是帶電粒子的電磁輻射（即你平時手機和收音機使用所需要的信號來源）。通過對麥克斯韋方程組的研究，我們可以將帶電粒子產生電磁輻射的規律概括性地定性總結為：帶電粒子的加速度產生電磁輻射，並且電磁輻射的強度和加速度大小正相關。

這種輻射常見於用帶電粒子的碰撞實驗中。這類實驗的一個早期著名例子是盧瑟福用電子碰撞金箔的實驗，這個實驗導致了對原子結構的深入探索。而這類實驗至今廣泛見於在各種大型對撞機中，帶電粒子以很高的速度運動，經受撞擊後變慢、靜止甚至反彈回來，這個過程中顯然速度發生劇烈改變，一定經受了加速度不為零的過程，也一定會放出輻射。這樣產生的輻射被稱為軔致輻射。

加速度產生電磁輻射的另一個很典型的例子是回旋加速器（迴旋輻射）。帶電粒子在回旋加速器中作圓周運動，每半圈加速一次，同時運動半徑增大從而形成螺旋軌道，最後以很高的速度射出。圓周運動需要向心加速度來維持，當速度相當高（與光速可比擬時，這時因為相對論效應而需使用同步回旋加速器）時，加速度太大以至於因為電磁輻射損失的能量過多，導致回旋加速器實際對粒子的加速作用有上限。然而這樣產生的光能量高，頻率穩定且可控，並且集中在一個很小的錐角里（相對論效應導致的前燈效應），因此是很好的大型物理用光源。這樣的裝置被稱作光子工廠。

狹義相對論中的加速度

主條目：洛倫茲變換

狹義相對論用於速度可以和光速相比擬時、研究宏觀物體的運動，並且要求參考係為慣性系。在狹義相對論中，我們對加速度的定義沒有改變。然而，由於在狹義相對論中，不同的參考系有不同的時間和空間度量標準，即當前參考系中的加速度為當前參考系中的位移對當前參考系中的時間的二階導數，因此在參考系變換（洛倫茲變換）時變得複雜很多。

設有兩個參考系$S\,\!$、$S'\,\!$，在空間直角坐標系中，三個坐標軸相對應平行，在$t=t'=0\,\!$時刻兩坐標系原點對齊，在$S\,\!$中$S'\,\!$以速率$v\,\!$沿x正方向運動。

下面為加速度的洛倫茲變換的一個十分概要的推導。你需要運用到微分的知識。

同一事件$P(x,y,z,t)\,\!$、$P'(x',y',z',t')\,\!$在兩個參考系中的坐標轉換如下：

${\begin{cases}x={\cfrac {x'-vt}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\cfrac {t'-{\cfrac {v}{c^{2}}}\,x'}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{cases}}\,.$

其中，$'\,\!$標示該物理量是在$S'\,\!$下的測量。用$\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right)\,\!$表示一質點的速度，$\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)\,\!$表示其加速度。我們有定義式如下

${\begin{cases}{\cfrac {dx}{dt}}=u_{x}\\{\cfrac {du_{x}}{dt}}=a_{x}\end{cases}}\,.$

y、z方向的定義式與之類似。綜合該定義式，利用坐標轉換的t部分，將坐標轉換的x、y、z連續兩次進行一階求導。

我們可以得到

${\begin{cases}a_{x}={\cfrac {\left(1-{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\,a'_{x}\\a_{y}={\cfrac {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}\,a'_{y}-{\cfrac {{\dfrac {vu'_{y}}{c^{2}}}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)}}\,a'_{x}\\a_{z}={\cfrac {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}\,a'_{z}-{\cfrac {{\dfrac {vu'_{z}}{c^{2}}}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)}}\,a'_{x}\end{cases}}\,.$

可以看出，在狹義相對論中，加速度的變換公式冗長而複雜，各分量的公式也極不相似。再加上如果要考慮到力，雖然$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$仍然成立，但質量也會變得隨參考系的不同而不同。以上原因導致加速度在牛頓力學中那種因為簡潔而具有的優越性，在狹義相對論中不復存在。

加速度在廣義相對論和量子力學中

假想實驗：站在兩種封閉電梯廂中兩個人，無法分辨球的加速度是由慣性力還是真正的引力施加的。

在廣義相對論中和在量子力學中，更多地是從能量、動量等的角度出發（類似於分析力學），而很少會像牛頓第二定律一樣涉及到單一的力；實際上，即使在需要表示出「位移的二階導數」這一個量的時候，會趨向於直接使用${\ddot {x}}\,$，等價於${\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$，來求解微分方程。因此，加速度作為一個被特別提出的物理量，在進一步的理論中已經很少被用到。

主條目：廣義相對論入門和等效原理

運用到加速度的其中一個例子是等效原理，簡單地說，它敘述了觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力。比如，你站在地球上靜止的電梯廂中向前方拋球，球會向下墜落，是因為地球的引力；而在遠離任何星體的宇宙中的一個電梯廂，在以重力加速度$g$向上（定義你踩到的地面為下）加速運動時，你拋出一個球，仍然會向「下」墜落，是因為慣性力。作為在封閉電梯廂中的你無法分辨這兩種情況，愛因斯坦據此提出，引力與慣性力等價。等效原理是廣義相對論中的支柱性原理之一。