曼德博集合

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

曼德博集合（Mandelbrot set）是在复平面上组成分形的点的集合。

定义

曼德博集合可以用复二次多项式

$f_{c}(z)=z^{2}+c\,$ 来定义

其中$c$是一个复参数。对于每一个$c$，从$z=0\,$开始对$f_{c}(z)$进行迭代。

序列 $(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$ 的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。

曼德博集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有$c$点的集合。

从数学上来讲，曼德博集合是一个复数的集合。一个给定的复数$c$或者属于曼德博集合$M$，或者不是。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each z0 in Complex
 repeats = 0
 z=z0
 Do
  z=z^2+z0
  repeate = repeats+1
 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats
 If repeats >= MaxRepeats Then
  Draw z0,Black
 Else
  Draw z0,f(z,z0,Repeats)  'f返回颜色
 End If
Next

f函数的一些例子

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False];

各種圖示

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