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双曲函数

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射线出原点交双曲线 于点 ,这里的 被称为双曲角,是这条射线、它关于 轴的镜像和双曲线之间的面积。

数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”,从它们可以导出双曲正切函数“tanh”等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数,例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”(也叫做“arcsinh”或“asinh”),以此类推。

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中,譬如說定义悬链线拉普拉斯方程

双曲函数的定义域是实数,其自变量的值叫做双曲角。在複分析中,由于双曲函数是指数函数有理函数,因此是整函数

符号差异

国际上普遍使用sinh x, cosh x, tanh x来表示双曲正弦、双曲余弦、双曲正切,但中国大陆的大学教材上却使用sh x, ch x, th x来表示双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。[來源請求]

基本定义

sinh, coshtanh
csch, sechcoth

如同当遍历实数集时,点 (, ) 的轨迹是一个一样,当遍历实数集时,点 (, ) 的轨迹是直角双曲线 的右半边。这是因为有以下的恒等式:

同时对于所有的 都有

双曲函数是带有复周期 周期函数

参数 t 不是圆而是双曲角,它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(, ) 的直线之间的面积的两倍。

函数是关于 y 轴对称的偶函数

函数 奇函数,也就是说对任意的x,都有 -sinh x = sinh -x

与三角函数的关系

双曲函数与三角函数有如下的关係:

恆等式

与双曲函数有关的恆等式如下:

  • 加法公式:
  • 二倍角公式:
  • 半角公式:

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系,雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,并将含有有兩個sinh的積的项(包括)轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[1]。如

  • 三倍角公式:
三角函数的三倍角公式为:
而对应的双曲函数三倍角公式则是:
  • 差角公式:
三角函数的差角公式为:
而对应的双曲函数的差角公式则是:

反双曲函数

主條目:反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

双曲函数的导数

双曲函数的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

(罗朗级数)
(罗朗级数)

其中

是第n項 伯努利數
是第n項 欧拉數

双曲函数的积分

请参阅

參考

  1. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902