双曲函数

射线出原点交双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 于点 $(\cosh {\mbox{ }}a,\sinh {\mbox{ }}a)$，这里的 $a$ 被称为双曲角，是这条射线、它关于 $x$ 轴的镜像和双曲线之间的面积。

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”，从它们可以导出双曲正切函数“tanh”等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。

符号差异

国际上普遍使用sinh x, cosh x, tanh x来表示双曲正弦、双曲余弦、双曲正切，但中国大陆的大学教材上却使用sh x, ch x, th x来表示双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。

基本定义

sinh, cosh 和 tanh

csch, sech 和 coth

• $\sinh x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}$
• $\cosh x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}$
• $\tanh x={{\sinh x} \over {\cosh x}}$
• $\coth x={1 \over {\tanh x}}$
• ${\mathop {\rm {sech}} }x={1 \over {\cosh x}}$
• ${\mathop {\rm {csch}} }x={1 \over {\sinh x}}$

如同当$t$遍历实数集$\mathbb {R}$时，点 ($\cos t\!$, $\sin t\!$) 的轨迹是一个圆$x^{2}+y^{2}=1$一样，当$t$遍历实数集$\mathbb {R}$时，点 ($\cosh t\!$, $\sinh t\!$) 的轨迹是直角双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

$\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,$

同时对于所有的 $t\in \mathbb {R}$ 都有 $\cosh t>0$。

双曲函数是带有复周期 $2\pi i$ 的周期函数。

参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点($\cosh x\!$, $\sinh t\!$) 的直线之间的面积的两倍。

函数$\cosh x\!$是关于 y 轴对称的偶函数。

函数 $\sinh x\!$ 是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x = sinh -x 且 $\sinh 0=0\!$。

与三角函数的关系

双曲函数与三角函数有如下的关系:

• $\sinh x=-i\sin xi\,$
• $\cosh x=\cos xi\,$
• $\tanh x=-i\tan xi\,$
• $\coth x=i\cot xi\,$
• $\operatorname {sech} x=\sec xi$
• $\operatorname {csch} x=i\,\csc xi$

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,$

• 加法公式：

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,$

• 二倍角公式：

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,$

$\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,$

• 半角公式：

$\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

$\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个sinh的积的项（包括$\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y$）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：$\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：$\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x$

• 差角公式：

三角函数的差角公式为：$\cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y$

而对应的双曲函数的差角公式则是：$\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$

反双曲函数

主条目：反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

$\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

$\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})$

$\operatorname {artanh} \,x=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

$\operatorname {arcoth} \,x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

$\operatorname {arsech} \,x=\pm \ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$

$\operatorname {arcsch} \,x={\begin{cases}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},&{\mbox{for }}x<0\!\,\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},&{\mbox{for }}x>0\!\,\end{cases}}$

双曲函数的导数

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

双曲函数的泰勒展开式

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (罗朗级数)

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (罗朗级数)

其中

$B_{n}\,$ 是第n项 伯努利数

$E_{n}\,$ 是第n项 欧拉数

双曲函数的积分

$\int \sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh cx+C$

$\int \cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh cx+C$

$\int \tanh cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\cosh cx|+C$

$\int \coth cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\sinh cx|+C$

请参阅

• 三角函数
• 古德曼函数