在數學中,雙曲函數是一類與常見的三角函數(也叫圓函數)類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數「sinh」和雙曲餘弦函數「cosh」,從它們可以導出雙曲正切函數「tanh」等等。其中的推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數,例如雙曲正弦函數的反函數是「arsinh」(也叫做「arcsinh」或「asinh」),以此類推。
雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中,譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。
雙曲函數的定義域是實數,其自變量的值叫做雙曲角。在複分析中,由於雙曲函數是指數函數的有理函數,因此是整函數。
符號差異
國際上普遍使用sinh x, cosh x, tanh x來表示雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切,但中國大陸的大學教材上卻使用sh x, ch x, th x來表示雙曲正弦、雙曲餘弦和雙曲正切。[來源請求]
基本定義
如同當遍歷實數集時,點 (, ) 的軌跡是一個圓一樣,當遍歷實數集時,點 (, ) 的軌跡是直角雙曲線 的右半邊。這是因為有以下的恆等式:
同時對於所有的 都有 。
雙曲函數是帶有復周期 的周期函數。
參數 t 不是圓角而是雙曲角,它表示在 x 軸和連接原點和雙曲線上的點(, ) 的直線之間的面積的兩倍。
函數是關於 y 軸對稱的偶函數。
函數 是奇函數,也就是說對任意的x,都有 -sinh x = sinh -x 且 。
與三角函數的關係
雙曲函數與三角函數有如下的關係:
恆等式
與雙曲函數有關的恆等式如下:
由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係,雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,並將含有有兩個sinh的積的項(包括)轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[1]。如
- 三角函數的三倍角公式為:
- 而對應的雙曲函數三倍角公式則是:
- 三角函數的差角公式為:
- 而對應的雙曲函數的差角公式則是:
反雙曲函數
主條目:反雙曲函數
反雙曲函數是雙曲函數的反函數. 它們的定義為:
雙曲函數的導數
雙曲函數的泰勒展開式
雙曲函數也可以以泰勒級數展開:
- (羅朗級數)
- (羅朗級數)
其中
- 是第n項 伯努利數
- 是第n項 歐拉數
雙曲函數的積分
請參閱
參考
- ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902