雙曲函數

射線出原點交雙曲線 $x^{2}-y^{2}=1$ 於點 $(\cosh {\mbox{ }}a,\sinh {\mbox{ }}a)$，這裏的 $a$ 被稱為雙曲角，是這條射線、它關於 $x$ 軸的鏡像和雙曲線之間的面積。

在數學中，雙曲函數是一類與常見的三角函數（也叫圓函數）類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數「sinh」和雙曲餘弦函數「cosh」，從它們可以導出雙曲正切函數「tanh」等等。其中的推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數，例如雙曲正弦函數的反函數是「arsinh」（也叫做「arcsinh」或「asinh」），以此類推。

雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。

雙曲函數的定義域是實數，其自變量的值叫做雙曲角。在複分析中，由於雙曲函數是指數函數的有理函數，因此是整函數。

符號差異

國際上普遍使用sinh x, cosh x, tanh x來表示雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切，但中國大陸的大學教材上卻使用sh x, ch x, th x來表示雙曲正弦、雙曲餘弦和雙曲正切。

基本定義

sinh, cosh 和 tanh

csch, sech 和 coth

• $\sinh x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}$
• $\cosh x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}$
• $\tanh x={{\sinh x} \over {\cosh x}}$
• $\coth x={1 \over {\tanh x}}$
• ${\mathop {\rm {sech}} }x={1 \over {\cosh x}}$
• ${\mathop {\rm {csch}} }x={1 \over {\sinh x}}$

如同當$t$遍歷實數集$\mathbb {R}$時，點 ($\cos t\!$, $\sin t\!$) 的軌跡是一個圓$x^{2}+y^{2}=1$一樣，當$t$遍歷實數集$\mathbb {R}$時，點 ($\cosh t\!$, $\sinh t\!$) 的軌跡是直角雙曲線 $x^{2}-y^{2}=1$的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

$\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,$

同時對於所有的 $t\in \mathbb {R}$ 都有 $\cosh t>0$。

雙曲函數是帶有復周期 $2\pi i$ 的周期函數。

參數 t 不是圓角而是雙曲角，它表示在 x 軸和連接原點和雙曲線上的點($\cosh x\!$, $\sinh t\!$) 的直線之間的面積的兩倍。

函數$\cosh x\!$是關於 y 軸對稱的偶函數。

函數 $\sinh x\!$ 是奇函數，也就是說對任意的x，都有 -sinh x = sinh -x 且 $\sinh 0=0\!$。

與三角函數的關係

雙曲函數與三角函數有如下的關係:

• $\sinh x=-i\sin xi\,$
• $\cosh x=\cos xi\,$
• $\tanh x=-i\tan xi\,$
• $\coth x=i\cot xi\,$
• $\operatorname {sech} x=\sec xi$
• $\operatorname {csch} x=i\,\csc xi$

恆等式

與雙曲函數有關的恆等式如下:

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,$

• 加法公式：

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,$

• 二倍角公式：

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,$

$\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,$

• 半角公式：

$\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

$\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係，雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，並將含有有兩個sinh的積的項（包括$\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

• 三倍角公式：

三角函數的三倍角公式為：$\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x$

而對應的雙曲函數三倍角公式則是：$\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x$

• 差角公式：

三角函數的差角公式為：$\cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y$

而對應的雙曲函數的差角公式則是：$\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$

反雙曲函數

主條目：反雙曲函數

反雙曲函數是雙曲函數的反函數. 它們的定義為:

$\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

$\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})$

$\operatorname {artanh} \,x=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

$\operatorname {arcoth} \,x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

$\operatorname {arsech} \,x=\pm \ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$

$\operatorname {arcsch} \,x={\begin{cases}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},&{\mbox{for }}x<0\!\,\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},&{\mbox{for }}x>0\!\,\end{cases}}$

雙曲函數的導數

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

雙曲函數的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (羅朗級數)

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (羅朗級數)

其中

$B_{n}\,$ 是第n項 伯努利數

$E_{n}\,$ 是第n項 歐拉數

雙曲函數的積分

$\int \sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh cx+C$

$\int \cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh cx+C$

$\int \tanh cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\cosh cx|+C$

$\int \coth cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\sinh cx|+C$

請參閱

• 三角函數
• 古德曼函數