保羅·寇恩

保羅·約瑟夫·寇恩 （Paul Joseph Cohen，生於1934年4月2日 - 卒於2007年3月23日) 是一位美國數學家，他證明策梅洛-弗蘭克爾公理系統加上選擇公理 (ZFC) 不能反駁連續統假設 (CH) 的否命題，而 ZF 不能反駁選擇公理 (AC) 的否命題。這一划時代的工作與哥德爾在1930年代的工作一起，證明了 CH 和 AC 分別獨立於 ZFC 和 ZF。寇恩在證明中創造了力迫法，如今力迫法已經成為公理集合論的一項基本技術。寇恩憑藉連續統假設的獨立性證明於1966年獲得菲爾茲獎章。

早年經歷

保羅·寇恩生於美國新澤西州長灘（Long Branch）的一個猶太家庭，1950年畢業於紐約市的 Stuyvesant 高中。

1950年寇恩入讀紐約市立大學布魯克林學院。不過他了解到申請芝加哥大學的研究生院只需兩年大學經歷，因此於1953年從布魯克林學院肄業。1954年寇恩在芝加哥大學取得碩士學位，1958年他在 Antoni Zygmund 的指導下獲得博士學位。寇恩的博士論文題為《三角級數唯一性理論的一些問題》（Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series）。

學術生涯

• 1957-1959年，在獲得博士學位之前曾先後執教於羅徹斯特大學和麻省理工大學。
• 1959-1961年，普林斯頓高等研究院博士後研究員。
• 1961年，獲聘為史丹福大學數學系助理教授。
• 1962年，升任史丹福大學數學系副教授，同年獲得 Sloan 基金獎勵。
• 1963年，憑藉連續統假設的獨立性證明獲得 Research Corp. 獎。
• 1964年，升任史丹福大學數學系教授。
• 1966年，獲得菲爾茲獎章。
• 1967年，獲得美國國家科學獎章。
• 2004年，從史丹福大學退休，但任教直至2007年春季。
• 生前是美國國家科學院和美國藝術科學院的院士。

數學貢獻

寇恩的博士論文和早期的研究內容是調和分析。1964年寇恩憑藉分析學論文《關於李特爾伍德猜想和冪等測度》（On a conjecture of Littlewood and idempotent measures）獲得美國數學學會頒發的博修獎（Bôcher Memorial Prize）。

1960年代初，寇恩開始對連續統假設感興趣。最終他發明了力迫法。在 ZF 協調的假設下，他運用力迫法構造了一個 ZFC 的模型 M，M 不滿足 CH，因此 ZFC 不能證明 CH。另外，同樣在 ZF 協調的假設下，寇恩運用力迫法擴張一個給定的 ZFC 模型 M 得到 M[G]，然後取 M[G] 的一個子模型 N，N 滿足 ZF、然而不滿足 AC。寇恩的這兩項工作和哥德爾在1930年代的工作一起，證明了 CH 獨立於 ZFC 而 AC 獨立於 ZF，因此 CH 是 ZFC 上的一個不可判定問題。

憑藉 CH 的獨立性證明，寇恩於1966年獲得菲爾茲獎章，並於1967年獲得美國國家科學獎章。直至今天，寇恩的菲爾茲獎章依然是數理邏輯界獲得的唯一一枚菲爾茲獎章。

寇恩生前是史丹福大學的教授，也是一位出色的教師，他指導的博士生彼得·薩納克（Peter Sarnak）是一位傑出的數學家、美國科學院院士和英國皇家學會會士。

連續統假設

據說在研究連續統假設的過程中，寇恩曾經感到其他數學家認為沒有希望解決這個問題，因為當時沒有構造集合論模型的新方法。1985年寇恩接受採訪時提到，人們甚至認為考慮這個問題的人多少有點瘋狂。

寇恩的獨立性證明引入了力迫法，如今力迫法成為一項強有力的技術，不計其數的數學家們運用這一方法構造模型，檢驗給定的假設可否與不同的公理系統協調。

外部連結

• 數學譜系計劃上的 寇恩
• paulcohen.org - 寇恩紀念網站
• 史丹福大學的寇恩訃文