滿射

滿射，或者滿射函數，在數學上為一個具有這樣一個性質的函數，即當輸入域涵蓋了所有定義域上的值時，函數的所有可能的輸出值都已經被產生。

更加形式化地，一個函數$f:X\rightarrow Y$為滿射，當，對於任意的陪域$Y$中的$y$，在函數的定義域$X$中存在至少一個$x$滿足$f(x)=y$。換句話說，$f$是滿射當它的值域$f(X)$與陪域$Y$相等，或者，等價地，如果每一個陪域中的元素都有一個原像。

例子和反例

函數$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$定義為$g(x)=x^{2}$不是一個滿射，因為，例如不存在一個實數滿足$x^{2}=-1$。

但是，如果函數$g:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty ]$，$g$的定義式同前，這裡的陪域限制到只有非負實數，則函數$g$為滿射。這是因為，給定一個任意的非負實數$y$，我們能對$y=x^{2}$求解，得到$x=\pm {\sqrt {y}}$。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非單射	非滿射非單射

性質

• 函數$f:X\rightarrow Y$為一個滿射，當且僅當存在一個函數$g:Y\rightarrow X$滿足$f\circ g$等於$Y$上的單位函數。（這個陳述等同於選擇公理。）
• 根據定義， 函數為雙射當且僅當它既是滿射也是單射。
• 如果$f\circ g$ 是滿射，則$f$是滿射。
• 如果$f$和$g$皆為滿射，則$f\circ g$為滿射。
• $f:X\rightarrow Y$為滿射，當且僅當給定任意函數$g,h:Y\rightarrow Z$滿足$g\circ f=h\circ f$，則$g=h$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$為滿射，且$B$是$Y$的子集，則，$f(f^{-1}(B))=B$。因此，$B$能被其原像復原。
• 任意函數$h:X\rightarrow Y$能被一個適當的滿射$f$和單射$g$分解為$h=g\circ f$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$為滿射函數，則$X$在基數意義上至少有跟$Y$一樣多的元素。
• 如果$X$和$Y$皆為具有相同元素數的有限集合，則$f:X\rightarrow Y$是滿射當且僅當$f$是單射。

相關條目

• 單射
• 雙射