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满射

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满射,或者满射函数,在数学上为一个具有这样一个性质的函数,即当输入域涵盖了所有定义域上的值时,函数的所有可能的输出值都已经被产生。

更加形式化地,一个函数为满射,当,对于任意的陪域中的,在函数的定义域中存在至少一个满足。换句话说,是满射当它的值域与陪域相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素都有一个原像


例子和反例

函数定义为不是一个满射,因为,例如不存在一个实数满足

但是,如果函数的定义式同前,这里的陪域限制到只有非负实数,则函数为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数,我们能对求解,得到



雙射(單射與滿射)


單射但非滿射


滿射但非单射


非滿射非單射

性质

  • 函数为一个满射,当且仅当存在一个函数满足等于上的单位函数。(这个陈述等同于选择公理。)
  • 根据定义, 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射
  • 如果 是满射,则是满射。
  • 如果皆为满射,则为满射。
  • 为满射,当且仅当给定任意函数满足,则
  • 如果为满射,且子集,则,。因此,能被其原像复原。
  • 任意函数能被一个适当的满射和单射分解为
  • 如果为满射函数,则基数意义上至少有跟一样多的元素。
  • 如果皆为具有相同元素数的有限集合,则是满射当且仅当单射

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