曼德博集合

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

曼德博集合（Mandelbrot set，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f_c(z) = z^{2} + c \,}

其中 $c$ 是一个复数参数。

从 $z=0$ 开始对 $f_{c}(z)$ 进行迭代，每次迭代的值依序如以下序列所示：

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$

不同數值的参数 $c$ 可能使序列的值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限半径的圆盘内。

曼德博集合 $M$ 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 $c$ 的集合。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each z0 in Complex
 repeats = 0
 z=z0
 Do
  z=z^2+z0
  repeate = repeats+1
 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats
 If repeats >= MaxRepeats Then
  Draw z0,Black
 Else
  Draw z0,f(z,z0,Repeats)  'f返回颜色
 End If
Next

f函数的一些例子

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False];

各種圖示

動畫

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