曼德博集合

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

曼德博集合（Mandelbrot set，或译为曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家本华·曼德博的名字命名。曼德博集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。

定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

$f_{c}(z)=z^{2}+c\,$

其中 $c$ 是一个复数参数。

从 $z=0$ 开始对 $f_{c}(z)$ 进行迭代，每次迭代的值依序如以下序列所示：

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$

不同数值的参数 $c$ 可能使序列的值逐渐发散到无限大，也可能收敛在有限半径的圆盘内。

曼德博集合 $M$ 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 $c$ 的集合。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each z0 in Complex
 repeats = 0
 z=z0
 Do
  z=z^2+z0
  repeate = repeats+1
 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats
 If repeats >= MaxRepeats Then
  Draw z0,Black
 Else
  Draw z0,f(z,z0,Repeats)  'f返回颜色
 End If
Next

f函数的一些例子

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False];

各种图示

动画

最原始图片	放大等级1	放大等级2	放大等级3	放大等级4
放大等级5	放大等级6	放大等级7	放大等级8	放大等级9
放大等级10	放大等级11	放大等级12	放大等级13	放大等级14