圓周率

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值，其定義為圓的周長与直徑的比值。 $\pi \,$ 也等於圓的面積與半徑平方的比值。

在分析學裡， $\pi \,$ 可以嚴格定義為滿足 $\sin(x)=0\,$ 的最小正實數 $x\,$ ，這裡的 $\sin()\,$ 是正弦函數（採用分析學的定義）。

近似值

常用π的十進位近似值為3.141592654，另外還有由祖沖之給出的約率： ${\frac {22}{7}}$ 及密率： ${\frac {355}{113}}$ ^[1]。
一般教育使用的π值只取3.14或 ${\frac {22}{7}}$ ，超過3.14159265358979323846264338327之後的位數就較鮮為人知了。如今，π的近似值已可算到小数点百万亿位。
巴比倫人曾使用六十進制的圓周率，數值為

3.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。^[2]

π的計算及歷史

由於π的無理性，所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或 ${\frac {22}{7}}$ 已足夠，但工程學常利用3.1416（5位有效數字）或3.14159（6位有效數字）。至於密率 ${\frac {355}{113}}$ （3.1415929203539823008849557522124........）則是一個易於記憶（三個連續奇數：113355），且精確至7位有效數字的分數近似值。

而在2009年末，有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2萬9千億個小數位。

而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB的電腦，計算出圓周率小數點後5萬億個小數位。^[3]

而在2011年10月19日，日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10萬億位^[4]

實驗時期

中國古籍云：「徑一周三」^[5]，意即取π=3。

公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱“阿梅斯草片文書”；為英國人Alexander Henry Rhind（萊茵德）於1858年發現，因此還稱“萊茵德紙草書” Rhind Papyrus）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。

在阿基米德以前，π值的測定依靠實物測量。

幾何法時期——反覆割圓

阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介于 $3{\frac {1}{7}}$ 與 $3{\frac {10}{71}}$ 之間。

公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」（分割愈精細，誤差愈少。分割之後再分割，直到不能再分割為止，它就會與圓周完全重疊，就不會有誤差了），其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，並以 ${157 \over 50}=3.14$ （徽率）為其分數近似值。

公元466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後7位的精確度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時，祖沖之給出了 ${355 \over 113}$ （密率）這個很好的分數近似值，它是分母小於10,000的簡單分數中最接近π的。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚，後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。

錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》：「古之九數，圓周率三圓徑率一，其術疏舛，自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三（刻本作二，誤）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓週三百五十五，約率圓徑七，周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。」

分析法時期——無窮級數

這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。

魯道夫·范·科伊倫（約1600年）計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速算法由梅欽在1706年提出：

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。

计算机時代

上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德算法或波溫算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特算法。

第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年九月得出的1,241,100,000,000個小數位，由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦，以每秒200億運算速度得出，比舊紀錄多算出一倍（206億小數位）。此紀錄由以下梅欽類公式得出：

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

(K. Takano, 1982年)

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

(F. C. W. Störmer, 1896年)

這麼多的小數位沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數：

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數，而不需先計算首n-1個小數位。此類π算法稱為贝利－波尔温－普劳夫公式。請參考Bailey's website 上相關程式。

法布里斯·贝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP算法：

\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)

請參考Fabrice Bellard's PI page 。

其他計算圓周率的公式包括：

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

(拉馬努金Ramanujan)

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

(David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)

\pi ={\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6n)!\ (545140134n+13591409)}{(n!)^{3}\ (3n)!\ (-640320)^{3}n}}}}

[2]

編寫電腦程式時，也可以利用反三角函數直接定義 $\pi$ 值，但是編譯器必須具備三角函數的函式庫：
利用正弦函數

\sin \left(\pi /2\right)=1

\pi =2*\arcsin \left(1\right)

利用餘弦函數

\cos \left(\pi \right)=-1

\pi =\arccos \left(-1\right)

年表

日期	計算者	π的值 (世界紀錄用粗體表示)
前20世紀	巴比倫人	25/8 = 3.125
前20世紀	埃及人Rhind Papyrus	（16/9）² = 3.160493...
前12世紀	中國	3
前6世紀中	聖經列王記上7章23節	3
前434年	阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方
前3世紀	阿基米德	223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491...
前20年	Vitruvius	25/8 = 3.125
前50年－23年	劉歆	3.1547^[6]
130年	張衡	92/29 = 3.17241...^[6] √10 = 3.162277...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	劉徽	3.14159
480年	祖沖之	3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
598年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
12世紀	Bhaskara	3.14156
1220年	比薩的列奧納多	3.141818
1400年	Madhava	3.14159265359
以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位，而不給出實際數值
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小數
1573年	Valenthus Otho	6位小數
1593年	Francois Viete	9位小數
1593年	Adriaen van Roomen	15位小數
1596年	魯道夫·范·科伊倫	20位小數
1615年	魯道夫·范·科伊倫	32位小數
1621年	威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生	35位小數
1665年	牛頓	16位小數
1699年	Abraham Sharp	71位小數
1700年	Seki Kowa	10位小數
1706年	John Machin	100位小數
1706年	William Jones引入希臘字母π
1719年	De Lagny計算了127個小數位，但並非全部是正確的	112位小數
1723年	Takebe	41位小數
1730年	Kamata	25位小數
1734年	萊昂哈德·歐拉引入希臘字母π並肯定其普及性
1739年	Matsunaga	50位小數
1761年	Johann Heinrich Lambert證明π是無理數
1775年	歐拉指出π是超越數的可能性
1789年	Jurij Vega 計算了140個小數位，但並非全部是正確的	137位小數
1794年	阿德里安-馬里·勒讓德證明π²是無理數（則π也是無理數），並提及π是超越數的可能性
1841年	Rutherford計算了208個小數位，但並非全部是正確的	152位小數
1844年	Zacharias Dase及Strassnitzky	200位小數
1847年	Thomas Clausen	248位小數
1853年	Lehmann	261位小數
1853年	Rutherford	440位小數
1853年	William Shanks	527位小數
1855年	Richter	500位小數
1874年	en:William Shanks耗費15年計算了707位小數，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對	527位小數
1882年	Lindemann證明π是超越數（林德曼-魏爾斯特拉斯定理）
1946年	D. F. Ferguson使用桌上計算器	620位小數
1947年		710位小數
1947年		808位小數
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算π，以後的記錄都用電腦來計算的	2,037位小數
1953年	Mahler證明π不是劉維爾數
1955年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	3,089位小數
1957年	G.E.Felton	7,480位小數
1958年	Francois Genuys	10,000位小數
1958年	G.E.Felton	10,020位小數
1959年	Francois Genuys	16,167位小數
1961年	IBM 7090電晶體計算機	20,000位小數
1961年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	100,000位小數
1966年		250,000位小數
1967年		500,000位小數
1974年		1,000,000位小數
1981年	金田康正	2,000,000位小數
1982年		4,000,000位小數
1983年		8,000,000位小數
1983年		16,000,000位小數
1985年	Bill Gosper	17,000,000位小數
1986年	David H. Bailey	29,000,000位小數
1986年	金田康正	33,000,000位小數
1986年		67,000,000位小數
1987年		134,000,000位小數
1988年		201,000,000位小數
1989年	楚諾維斯基兄弟	480,000,000位小數
1989年	楚諾維斯基兄弟	535,000,000位小數
1989年	金田康正	536,000,000位小數
1989年	楚諾維斯基兄弟	1,011,000,000位小數
1989年	金田康正	1,073,000,000位小數
1992年	金田康正	2,180,000,000位小數
1994年	楚諾維斯基兄弟	4,044,000,000位小數
1995年	金田康正和高橋	4,294,960,000位小數
1995年	金田康正和高橋	6,000,000,000位小數
1996年	楚諾維斯基兄弟	8,000,000,000位小數
1997年	金田康正和高橋	51,500,000,000位小數
1999年		68,700,000,000位小數
1999年		206,000,000,000位小數
2002年	金田康正的隊伍	1,241,100,000,000位小數
2009年	高橋大介^[7]	2,576,980,370,000位小數
2009年	法布里斯·貝拉	2,699,999,990,000位小數
2010年	近藤茂^[8]	5,000,000,000,000位小數
2011年	近藤茂^[9]	10,000,000,000,000位小數

2011年IBM 蓝色基因/P超级计算机^[10]算出π²的60,000,000,000,000位二進制小數。

π的特性和相關公式

幾何：

若圓的半徑為r，則其圓周為C = 2πr

若圓的半徑為r，則其面積為A =πr²

若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ，則其面積為A = πab

若球體的半徑為 r，則其體積為 V = (4/3)πr³

若球體的半徑為r，則其表面積為 A = 4πr²

角：180度相等於π弧度

环面的体积和表面积公式

A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,

V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,

R是管子的中心到画面的中心的距离， r是圆管的半径。

代數

π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。

數學分析

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

(Leibniz定理)

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

(Wallis乘積)

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

(由歐拉证明，参见巴塞尔问题)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

(斯特林公式)

e^{\pi i}+1=0\;

(歐拉公式)

π有個特別的連分數表示式：

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}

π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數

3+{\frac {1}{7}}={\frac {22}{7}}

3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15}}}}={\frac {333}{106}}

3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}={\frac {355}{113}}

第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有12個表達式見於[3] )

數論

兩個任意自然數是互質的概率是

{\frac {6}{\pi ^{2}}}

。

任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的概率為

{\frac {6}{\pi ^{2}}}

。

一個任意整數平均可用

{\frac {\pi }{4}}

個方法寫成兩個完全數之和。

概率論

取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的概率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找π的值。

動態系統／遍歷理論

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}

對[0, 1]中幾乎所有x₀，其中 x_i是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。

物理學

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (海森堡不确定性原理)

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$ (相對論的場方程)

統計學

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}

（此為常態分配的機率密度函數）

精度高π的應用

一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π，因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬件的測試，以不同的算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。^[11] ^[12]

尚待解決的問題

關於π未解決的問題包括：

它是否是一個正規數，即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列？對於二進位運算式，答案是肯定的，這是Bailey及Crandall於2000年從Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中？若然，則對於非十進位運算式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無窮地在π的小數運算式中出現？
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確？

批评

近年来，有部分学者认为约等于3.14的π“不合自然”，应该用双倍于π、约等于6.28的一个常数代替。支持这一说法的学者认为在很多数学公式2π很常见，很少单独使用一个π。美国哈佛大学物理学教授的迈克尔·哈特尔称“圆形与直径无关，而与半径相关，圆形由离中心一定距离即半径的一系列点构成”。并建议使用希腊字母τ来代替π^[13]^[14]^[15]。

美国数学家鲍勃·帕莱（Bob Palais）于2001年在《数学情报》（The Mathematical Intelligencer）上发表了一篇题为《π 是错误的！》（π Is Wrong!）的论文。在论文的第一段，鲍勃·帕莱说道：

几个世纪以来，π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘，把它当作数学界的象征；计算器和编程语言里也少不了 π 的身影；甚至有一部电影就直接以它命名⋯⋯但是，π 其实只是一个冒牌货，真正值得大家敬畏和赞赏的，其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数。

美国数学家麦克·哈特尔（Michael Hartl）建立了网站 tauday.com ，呼吁人们用希腊字母 τ（发音：tau）来表示“正确的”圆周率 C/r。并建议大家以后在写论文时，用一句“为方便起见，定义 τ = 2π ”开头。

著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ，里边有一篇洋洋洒洒数千字的 π 宣言。宣称圆周率定义为周长与直径之比有优越性。在衡量圆柱形物体的截面大小时，直径比半径更方便测量。

文化

背誦π的位數

世界記錄是100000位，日本人原口証於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。^[16]

普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。

在英文，會使用英文字母的長度作為數字，例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.1415926535897932384626433832795。

π在數學外的用途

在Google公司 2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926
3月14日為圓周率日

注釋

^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
^ 60進制下60個小數位的圓周率
^ 日男砌機計圓周率小數點5萬億位
^ [1]
^ 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。
^ ^6.0 ^6.1 《 $\pi$ 和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962-07-2007-5
^ 筑波大學計算科学研究中心准教授，以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得
^ 電算圓周率5兆位數日人創紀錄. 中央社即時新聞 CNA-NEWS.COM. [2010-08-05].
^ 計算圓周率日近藤茂再創紀錄. 自由時報. [2011-10-17].
^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].
^ The Quest for Pi
^ Pi goes on forever
^ 有学者认为圆周率定义不合理要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] （中文（中国大陆））.
^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].
^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].
^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?

外部連接

尋找π值的計畫
前1.2百萬位元中的部分資料
將π前一萬位元化作音樂旋律
SuperPI 計算π值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度（日文）
計算圓周率
PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。
用大炮求圓周率：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。

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[1] 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉

[2] 60進制下60個小數位的圓周率

[3] 日男砌機計圓周率小數點5萬億位

[4] [1]

[5] 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。

[pi&e-6] 6.0 ^6.1 《 $\pi$ 和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962-07-2007-5

[7] 筑波大學計算科学研究中心准教授，以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得

[8] 電算圓周率5兆位數日人創紀錄. 中央社即時新聞 CNA-NEWS.COM. [2010-08-05].

[9] 計算圓周率日近藤茂再創紀錄. 自由時報. [2011-10-17].

[10] Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].

[11] The Quest for Pi

[12] Pi goes on forever

[13] 有学者认为圆周率定义不合理要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] （中文（中国大陆））.

[14] Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].

[15] Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].

[16] The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?

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查论编几何学术语
点	頂點交點中點角同界角極值點最值點臨界點驻点鞍點
直线和曲线	线段射线直线切线（主）法线副法線曲线圆锥曲线双曲线抛物线正弦曲線蚌线蜗线螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）摆线（最速降線問題）悬链线曳物线漸開線渐屈线渐近线测地线邊周界弦弧矢垂直平分線代數曲線椭圆曲线超橢圓星形线三尖瓣线方圓形勒洛三角形
平面圖形	圆（广义圆）椭圆扇形弓形环形多边形三角形四邊形五边形六边形多边形正多边形梯形平行四边形菱形矩形正方形鷂形卵形线梭形星形五角星六角星
立體圖形	多面体正多面體四面體長方體立方體平行六面体棱柱反棱柱棱锥棱台圆柱体圆锥圆台椭球（長球體、扁球體）球體球缺球冠球台準線母線
曲面	二次曲面旋轉曲面抛物面雙曲面马鞍面球面橢球面類球面环面莫比乌斯带流形黎曼曲面
高維空間	超平面超面超曲面胞多胞形超球體超方形超立方體克莱因瓶四維柱體柱
圖形關係	相似全等對稱平行垂直相交相切相離镜像旋转反演截面缩放
三角形關係	相似三角形全等三角形
量	距离长度周长弧长高度面积表面積体积容積角度曲率撓率離心率凹凸性有向曲面可展曲面直紋曲面
作圖	尺直尺三角尺圆规尺规作图二刻尺作圖
分支	平面幾何立体几何三角学解析几何微分几何拓扑学图论摺紙數學欧几里得几何非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……）分形
理論	定理公理定义數學證明
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