圆周率

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值，其定义为圆的周长与直径的比值。 $\pi \,$ 也等于圆的面积与半径平方的比值。

在分析学里， $\pi \,$ 可以严格定义为满足 $\sin(x)=0\,$ 的最小正实数 $x\,$ ，这里的 $\sin()\,$ 是正弦函数（采用分析学的定义）。

近似值

常用π的十进制近似值为3.141592654，另外还有由祖冲之给出的约率： ${\frac {22}{7}}$ 及密率： ${\frac {355}{113}}$ ^[1]。
一般教育使用的π值只取3.14或 ${\frac {22}{7}}$ ，超过3.14159265358979323846264338327之后的位数就较鲜为人知了。如今，π的近似值已可算到小数点百万亿位。
巴比伦人曾使用六十进制的圆周率，数值为

3.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。^[2]

π的计算及历史

由于π的无理性，所以只能以近似值的方法计算π。对于一般应用3.14或 ${\frac {22}{7}}$ 已足够，但工程学常利用3.1416（5位有效数字）或3.14159（6位有效数字）。至于密率 ${\frac {355}{113}}$ （3.1415929203539823008849557522124........）则是一个易于记忆（三个连续奇数：113355），且精确至7位有效数字的分数近似值。

而在2009年末，有科学家已经用超级计算机计算出圆周率暂时计到小数点后2万9千亿个小数位。

而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己组装硬盘容量达32TB的计算机，计算出圆周率小数点后5万亿个小数位。^[3]

而在2011年10月19日，日本程序员JA0HXV宣布他已经将圆周率Pi计算到小数点后10万亿位^[4]

实验时期

中国古籍云：“径一周三”^[5]，意即取π=3。

公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Alexander Henry Rhind（莱茵德）于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书” Rhind Papyrus）是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。

在阿基米德以前，π值的测定依靠实物测量。

几何法时期——反复割圆

阿基米德用正96边形割圆术得出圆周率介于 $3{\frac {1}{7}}$ 与 $3{\frac {10}{71}}$ 之间。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割为12、24、48、96、192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（分割愈精细，误差愈少。分割之后再分割，直到不能再分割为止，它就会与圆周完全重叠，就不会有误差了），其中有求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，并以 ${157 \over 50}=3.14$ （徽率）为其分数近似值。

公元466年，中国数学家祖冲之将圆周率算到小数点后7位的精确度，这一纪录在世界上保持了一千年之久。同时，祖冲之给出了 ${355 \over 113}$ （密率）这个很好的分数近似值，它是分母小于10,000的简单分数中最接近π的。为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。可惜祖冲之的著作《缀术》已经亡佚，后人无从得知祖冲之如何估算圆周率的值。

钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉引《隋书律历志》：“古之九数，圆周率三圆径率一，其术疏舛，自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密率，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三（刻本作二，误）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间，密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七，周二十二。又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。”

分析法时期——无穷级数

这一时期人们开始摆脱利用割圆术的繁复计算，开始利用无穷级数或无穷连乘积求π。

鲁道夫·范·科伊伦（约1600年）计算出π的小数点后首35位。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了John Machin于1706年提出的数式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一个快速算法由梅钦在1706年提出：

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。

计算机时代

上万位以上的小数位值通常利用高斯-勒让德算法或波温算法；另外以往亦曾使用于1976年发现的萨拉明-布伦特算法。

第一个π和1/π的小数点后首一百万位利用了古腾堡计划。最新纪录是2002年九月得出的1,241,100,000,000个小数位，由拥有1TB主记忆体的64-node日立超级计算机，以每秒200亿运算速度得出，比旧纪录多算出一倍（206亿小数位）。此纪录由以下梅钦类公式得出：

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

(K. Takano, 1982年)

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

(F. C. W. Störmer, 1896年)

这么多的小数位没什么实用价值，只用以测试超级计算机。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普劳夫发现了π的其中一个无穷级数：

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

以上述公式可以计算π的第n个二进制或十六进制小数，而不需先计算首n-1个小数位。此类π算法称为贝利－波尔温－普劳夫公式。请参考Bailey's website 上相关程式。

法布里斯·贝拉于1997年给出了计算机效率上高出上式47%的BBP算法：

\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)

请参考Fabrice Bellard's PI page 。

其他计算圆周率的公式包括：

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

(拉马努金Ramanujan)

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

(David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)

\pi ={\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6n)!\ (545140134n+13591409)}{(n!)^{3}\ (3n)!\ (-640320)^{3}n}}}}

[2]

编写计算机程序时，也可以利用反三角函数直接定义 $\pi$ 值，但是编译器必须具备三角函数的函式库：
利用正弦函数

\sin \left(\pi /2\right)=1

\pi =2*\arcsin \left(1\right)

利用余弦函数

\cos \left(\pi \right)=-1

\pi =\arccos \left(-1\right)

年表

日期	计算者	π的值 (世界纪录用粗体表示)
前20世纪	巴比伦人	25/8 = 3.125
前20世纪	埃及人Rhind Papyrus	（16/9）² = 3.160493...
前12世纪	中国	3
前6世纪中	圣经列王记上7章23节	3
前434年	阿那克萨哥拉尝试通过尺规作图来化圆为方
前3世纪	阿基米德	223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491...
前20年	Vitruvius	25/8 = 3.125
前50年－23年	刘歆	3.1547^[6]
130年	张衡	92/29 = 3.17241...^[6] √10 = 3.162277...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	刘徽	3.14159
480年	祖冲之	3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
598年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
12世纪	Bhaskara	3.14156
1220年	比萨的列奥纳多	3.141818
1400年	Madhava	3.14159265359
以后的纪录都仅记录小数点后多少位，而不给出实际数值
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小数
1573年	Valenthus Otho	6位小数
1593年	Francois Viete	9位小数
1593年	Adriaen van Roomen	15位小数
1596年	鲁道夫·范·科伊伦	20位小数
1615年	鲁道夫·范·科伊伦	32位小数
1621年	威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生	35位小数
1665年	牛顿	16位小数
1699年	Abraham Sharp	71位小数
1700年	Seki Kowa	10位小数
1706年	John Machin	100位小数
1706年	William Jones引入希腊字母π
1719年	De Lagny计算了127个小数位，但并非全部是正确的	112位小数
1723年	Takebe	41位小数
1730年	Kamata	25位小数
1734年	莱昂哈德·欧拉引入希腊字母π并肯定其普及性
1739年	Matsunaga	50位小数
1761年	Johann Heinrich Lambert证明π是无理数
1775年	欧拉指出π是超越数的可能性
1789年	Jurij Vega 计算了140个小数位，但并非全部是正确的	137位小数
1794年	阿德里安-马里·勒让德证明π²是无理数（则π也是无理数），并提及π是超越数的可能性
1841年	Rutherford计算了208个小数位，但并非全部是正确的	152位小数
1844年	Zacharias Dase及Strassnitzky	200位小数
1847年	Thomas Clausen	248位小数
1853年	Lehmann	261位小数
1853年	Rutherford	440位小数
1853年	William Shanks	527位小数
1855年	Richter	500位小数
1874年	en:William Shanks耗费15年计算了707位小数，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对	527位小数
1882年	Lindemann证明π是超越数（林德曼-魏尔斯特拉斯定理）
1946年	D. F. Ferguson使用桌上计算器	620位小数
1947年		710位小数
1947年		808位小数
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机（ENIAC）计算π，以后的记录都用计算机来计算的	2,037位小数
1953年	Mahler证明π不是刘维尔数
1955年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	3,089位小数
1957年	G.E.Felton	7,480位小数
1958年	Francois Genuys	10,000位小数
1958年	G.E.Felton	10,020位小数
1959年	Francois Genuys	16,167位小数
1961年	IBM 7090晶体管计算机	20,000位小数
1961年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	100,000位小数
1966年		250,000位小数
1967年		500,000位小数
1974年		1,000,000位小数
1981年	金田康正	2,000,000位小数
1982年		4,000,000位小数
1983年		8,000,000位小数
1983年		16,000,000位小数
1985年	Bill Gosper	17,000,000位小数
1986年	David H. Bailey	29,000,000位小数
1986年	金田康正	33,000,000位小数
1986年		67,000,000位小数
1987年		134,000,000位小数
1988年		201,000,000位小数
1989年	楚诺维斯基兄弟	480,000,000位小数
1989年	楚诺维斯基兄弟	535,000,000位小数
1989年	金田康正	536,000,000位小数
1989年	楚诺维斯基兄弟	1,011,000,000位小数
1989年	金田康正	1,073,000,000位小数
1992年	金田康正	2,180,000,000位小数
1994年	楚诺维斯基兄弟	4,044,000,000位小数
1995年	金田康正和高桥	4,294,960,000位小数
1995年	金田康正和高桥	6,000,000,000位小数
1996年	楚诺维斯基兄弟	8,000,000,000位小数
1997年	金田康正和高桥	51,500,000,000位小数
1999年		68,700,000,000位小数
1999年		206,000,000,000位小数
2002年	金田康正的队伍	1,241,100,000,000位小数
2009年	高桥大介^[7]	2,576,980,370,000位小数
2009年	法布里斯·贝拉	2,699,999,990,000位小数
2010年	近藤茂^[8]	5,000,000,000,000位小数
2011年	近藤茂^[9]	10,000,000,000,000位小数

2011年IBM 蓝色基因/P超级计算机^[10]算出π²的60,000,000,000,000位二进制小数。

π的特性和相关公式

几何：

若圆的半径为r，则其圆周为C = 2πr

若圆的半径为r，则其面积为A =πr²

若椭圆的长、短两轴分别为a 和 b ，则其面积为A = πab

若球体的半径为 r，则其体积为 V = (4/3)πr³

若球体的半径为r，则其表面积为 A = 4πr²

角：180度相等于π弧度

环面的体积和表面积公式

A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,

V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,

R是管子的中心到画面的中心的距离， r是圆管的半径。

代数

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由Johann Heinrich Lambert于1761年证明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数。

数学分析

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

(Leibniz定理)

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

(Wallis乘积)

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

(由欧拉证明，参见巴塞尔问题)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

(斯特林公式)

e^{\pi i}+1=0\;

(欧拉公式)

π有个特别的连分数表示式：

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}

π本身的连分数表示式(简写)为[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分给出的首三个渐近分数

3+{\frac {1}{7}}={\frac {22}{7}}

3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15}}}}={\frac {333}{106}}

3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}={\frac {355}{113}}

第一个和第三个渐近分数即为约率和密率的值。数学上可以证明，这样得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

(另有12个表达式见于[3] )

数论

两个任意自然数是互质的概率是

{\frac {6}{\pi ^{2}}}

。

任取一个任意整数，该整数没有重复质因数的概率为

{\frac {6}{\pi ^{2}}}

。

一个任意整数平均可用

{\frac {\pi }{4}}

个方法写成两个完全数之和。

概率论

取一枚长度为l的针，再取一张白纸在上面画上一些距离为2l的平行线。把针从一定高度释放，让其自由落体到纸面上。针与平行线相交的概率是圆周率的倒数（泊松针）。曾经有人以此方法来寻找π的值。

动态系统／遍历理论

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}

对[0, 1]中几乎所有x₀，其中 x_i是对于r=4的逻辑图像迭代数列。

物理学

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (海森堡不确定性原理)

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$ (相对论的场方程)

统计学

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}

（此为常态分配的几率密度函数）

精度高π的应用

一般工程或天文运算不需要成千上万位精确度的π，因为40位精确度的π已经足以计算误差小于一个质子大小的银河系圆周。现今精度高π应用于计算机软硬件的测试，以不同的算法计算π而结果误差大代表计算机系统可能出问题。^[11] ^[12]

尚待解决的问题

关于π未解决的问题包括：

它是否是一个正规数，即π的十进制运算式是否包含所有的有限数列？对于二进制运算式，答案是肯定的，这是Bailey及Crandall于2000年从Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出来的。
0,...,9是否以完全随机的形态出现在π的十进制运算式中？若然，则对于非十进制运算式，亦应有类似特质。
究竟是否所有0,...,9都会无穷地在π的小数运算式中出现？
到底超级计算机计算出来的上亿位的圆周率是否正确？

批评

近年来，有部分学者认为约等于3.14的π“不合自然”，应该用双倍于π、约等于6.28的一个常数代替。支持这一说法的学者认为在很多数学公式2π很常见，很少单独使用一个π。美国哈佛大学物理学教授的迈克尔·哈特尔称“圆形与直径无关，而与半径相关，圆形由离中心一定距离即半径的一系列点构成”。并建议使用希腊字母τ来代替π^[13]^[14]^[15]。

美国数学家鲍勃·帕莱（Bob Palais）于2001年在《数学情报》（The Mathematical Intelligencer）上发表了一篇题为《π 是错误的！》（π Is Wrong!）的论文。在论文的第一段，鲍勃·帕莱说道：

几个世纪以来，π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘，把它当作数学界的象征；计算器和编程语言里也少不了 π 的身影；甚至有一部电影就直接以它命名⋯⋯但是，π 其实只是一个冒牌货，真正值得大家敬畏和赞赏的，其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数。

美国数学家麦克·哈特尔（Michael Hartl）建立了网站 tauday.com ，呼吁人们用希腊字母 τ（发音：tau）来表示“正确的”圆周率 C/r。并建议大家以后在写论文时，用一句“为方便起见，定义 τ = 2π ”开头。

著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ，里边有一篇洋洋洒洒数千字的 π 宣言。宣称圆周率定义为周长与直径之比有优越性。在衡量圆柱形物体的截面大小时，直径比半径更方便测量。

文化

背诵π的位数

世界记录是100000位，日本人原口证于2006年10月3日背诵圆周率π至小数点后100000位。^[16]

普通话用谐音记忆的有“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐”，就是3.1415926535897932384626。

在英文，会使用英文字母的长度作为数字，例如“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.”就是3.1415926535897932384626433832795。

π在数学外的用途

在Google公司 2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926
3月14日为圆周率日

注释

^ 钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉
^ 60进制下60个小数位的圆周率
^ 日男砌机计圆周率小数点5万亿位
^ [1]
^ 《周髀算经》注中，赵爽指出“圆径一而周三，方径一而匝四”。
^ ^6.0 ^6.1 《 $\pi$ 和e》，夏道行，商务印书馆，第10页，ISBN 962-07-2007-5
^ 筑波大学计算科学研究中心准教授，以超级计算机T2K筑波システム耗费73小时36分计算而得
^ 電算圓周率5兆位數日人創紀錄. 中央社即时新闻 CNA-NEWS.COM. [2010-08-05].
^ 計算圓周率日近藤茂再創紀錄. 自由时报. [2011-10-17].
^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].
^ The Quest for Pi
^ Pi goes on forever
^ 有学者认为圆周率定义不合理要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] （中文（中国大陆））.
^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].
^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].
^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?

外部连接

寻找π值的计划
前1.2百万位元中的部分资料
将π前一万位元化作音乐旋律
SuperPI 计算π值的软件，计算机硬件玩家常用来测试计算机运算速度（日文）
计算圆周率
PiFast 个人计算机上最快的计算π值软件，是个人计算机计算π值纪录保持软件。
用大炮求圆周率：以蒙特卡罗算法，利用圆的面积求圆周率。

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[1] 钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉

[2] 60进制下60个小数位的圆周率

[3] 日男砌机计圆周率小数点5万亿位

[4] [1]

[5] 《周髀算经》注中，赵爽指出“圆径一而周三，方径一而匝四”。

[pi&e-6] 6.0 ^6.1 《 $\pi$ 和e》，夏道行，商务印书馆，第10页，ISBN 962-07-2007-5

[7] 筑波大学计算科学研究中心准教授，以超级计算机T2K筑波システム耗费73小时36分计算而得

[8] 電算圓周率5兆位數日人創紀錄. 中央社即时新闻 CNA-NEWS.COM. [2010-08-05].

[9] 計算圓周率日近藤茂再創紀錄. 自由时报. [2011-10-17].

[10] Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].

[11] The Quest for Pi

[12] Pi goes on forever

[13] 有学者认为圆周率定义不合理要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] （中文（中国大陆））.

[14] Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].

[15] Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].

[16] The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?

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查论编几何学术语
点	顶点交点中点角同界角极值点最值点临界点驻点鞍点
直线和曲线	线段射线直线切线（主）法线副法线曲线圆锥曲线双曲线抛物线正弦曲线蚌线蜗线螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）摆线（最速降线问题）悬链线曳物线渐开线渐屈线渐近线测地线边周界弦弧矢垂直平分线代数曲线椭圆曲线超椭圆星形线三尖瓣线方圆形勒洛三角形
平面图形	圆（广义圆）椭圆扇形弓形环形多边形三角形四边形五边形六边形多边形正多边形梯形平行四边形菱形矩形正方形鹞形卵形线梭形星形五角星六角星
立体图形	多面体正多面体四面体长方体立方体平行六面体棱柱反棱柱棱锥棱台圆柱体圆锥圆台椭球（长球体、扁球体）球体球缺球冠球台准线母线
曲面	二次曲面旋转曲面抛物面双曲面马鞍面球面椭球面类球面环面莫比乌斯带流形黎曼曲面
高维空间	超平面超面超曲面胞多胞形超球体超方形超立方体克莱因瓶四维柱体柱
图形关系	相似全等对称平行垂直相交相切相离镜像旋转反演截面缩放
三角形关系	相似三角形全等三角形
量	距离长度周长弧长高度面积表面积体积容积角度曲率挠率离心率凹凸性有向曲面可展曲面直纹曲面
作图	尺直尺三角尺圆规尺规作图二刻尺作图
分支	平面几何立体几何三角学解析几何微分几何拓扑学图论折纸数学欧几里得几何非欧几里得几何（双曲几何、球面几何……）分形
理论	定理公理定义数学证明
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