类数公式

在数论中，类数公式“涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。

类数公式的一般性陈述

数域 K 有扩张[K:Q]=n=r₁+2r₂, $r_{1}$ 为 K的实素点个数和$2r_{2}$ 为 K的复素点个数. 为 K戴德金zeta函数记为:$\zeta _{K}(s)\,$ 则有下列不变量：

• $h_{K}$ 为K的理想类群的阶
• $\operatorname {Reg} _{K}$ K的素点
• $w_{K}$ 为K的单位根个数
• $D_{K}$ 为K在K/Q扩张的判别式
• 定理1（类数公式）数域 K 的戴德金zeta函数$\zeta _{K}(s)\,$

绝对收敛，并对复平面$\Re (s)>1$，且s =1时，只有一个极点的亚纯函数，其留数为：

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}$

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是分圆域的扩张，也有简化的类数公式。