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P/NP問題

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千禧年大獎難題

P/NP問題是在理論資訊科學中計算複雜度理論領域裏至今沒有解決的問題，它被「克雷數學研究所」（Clay Mathematics Institute，簡稱CMI）在千禧年大獎難題中收錄。P/NP問題中包含了複雜度類別P與NP的關係。1971年史提芬·古克（Stephen A. Cook）和Leonid Levin相對獨立的提出了下面的問題，即是否兩個複雜度類別P和NP是恆等的（P=NP?）。

P和NP

複雜度類別P即為所有可以由一個確定型圖靈機在多項式表達的時間內解決的問題；類NP由所有可以在多項式時間內驗證解是否正確的決定問題組成，或者等效的說，那些解可以在非確定型圖靈機上在多項式時間內找出的問題的集合。很可能，計算理論最大的未解決問題就是關於這兩類的關係的：

P和NP相等嗎？

在2002年對於100研究者的調查，61人相信答案是否定的，9個相信答案是肯定的，22個不確定，而8個相信該問題可能和現在所接受的公理獨立，所以不可能證明或證否。[1] 對於正確的解答，有一個$1,000,000美元的獎勵。

NP-完全問題（或者叫NPC）的集合在這個討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的（確切定義細節請參看NP-完全理論）。電腦科學家現在相信P, NP，和NPC類之間的關係如圖中所示，其中P和NPC類不交。

假設P ≠ NP的複雜度類別的圖解。如P = NP則三個類相同。

簡單來說，P = NP問題問道：如果是／不是問題的正面答案可以很快驗證，其答案是否也可以很快計算？這裏有一個給你找點這個問題的感覺的例子。給定一個大數Y，我們可以問Y是否是複合數。例如，我們可能問53308290611是否有非平凡的因子。回答是肯定的，雖然手工找出一個因子很麻煩。從另一個方面講，如果有人聲稱答案是"對，因為224737可以整除53308290611"，則我們可以很快用一個除法來驗證。驗證一個數是除數比首先找出除數來簡單得多。用於驗證一個正面答案所需的資訊也稱為證明。所以我們的結論是，給定 正確的證明，問題的正面答案可以很快地（也就是，在多項式時間內）驗證，而這就是這個問題屬於NP的原因。雖然這個特定的問題，最近被證明為也在P類中（參看下面的關於"質數在P中"的參考），這一點也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬於類P。

像上面這樣，把問題限制到「是／不是」問題並沒有改變原問題（即沒有降低難度）；即使我們允許更複雜的答案，最後的問題（是否FP = FNP）是等價的。

學術定義

更正式一些，一個決定問題是一個取一些字串為輸入並要求輸出為是或否的問題。若有一個演算法（譬如圖靈機，或一個LISP或Pascal的程式並有無限的主記憶體）能夠在最多nk步內對一個串長度為n的輸入給出正確答案，其中k是某個不依賴於輸入串的常數，則我們稱該問題可以在多項式時間內解決，並且將它置入類P。直觀的講，我們將P中的問題視為可以較快解決的問題。

現在假設有一個演算法A(w,C)取兩個參數，一個串w，也就是我們的決定問題的輸入串，而另一個串C是「建議證明」，並且使得A在最多nk步之內產生「是／否」答案（其中n是w的長度而k不依賴於w）。進一步假設

w是一個答案為「是」的例子，若且唯若，存在C使得A(w,C)返回「是」。

則我們稱這個問題可以在非決定性多項式時間內解決，且將它放入NP類。我們把演算法A作為一個所建議的證明的檢驗器，它執行足夠快。（注意縮寫NP代表「Non-deterministic（非確定性）Polynomial（多項式）」而不是代表「Non-Polynomial（非多項式）。）

NP完全

要解決P = NP問題，NP完全的概念非常有用。不嚴格的講，NP完全問題是NP類中「最難」的問題，也就是說它們是最可能不屬於P類的。這是因為任何NP中的問題可以在多項式時間內變換成為任何特定NP完全問題的一個特例。例如，旅行推銷員問題的判定問題版本是NP完全的。所以NP中的任何問題的任何特例可以在多項式時間內機械地轉換成旅行商問題的一個特例。 所以若旅行商問題被證明為在P內，則P = NP！旅行商問題是很多這樣的NP完全的問題之一。若任何一個NP完全的問題在P內，則可以推出P = NP。不幸的是，很多重要的問題被證明為NP完全，但沒有一個有已知快速的演算法。

更難的問題

雖然是否P=NP還是未知的，在P之外的問題是已經知道存在的。尋找國際象棋或圍棋最佳走法（在n乘n棋盤上）是指數時間完全的。因為可以證明P ≠ EXPTIME（指數時間），這些問題位於P之外，所以需要比多項式時間更多的時間。判定Presburger算術中的命題是否為真的問題更加困難。Fischer和Rabin於1974年證明每個決定Presburger命題的真偽性的演算法有最少22cn的執行時間，c為某個常數。這裏，n是Presburger命題的長度。因此，該命題已知需要比指數時間更多的執行時間。不可判定問題是更加困難的，例如停機問題。它們無法在任何給定時間內解決。

P真的容易處理嗎？

上面所有的討論，假設了P表示「容易」而「不在P中」表示「困難」。這是一個在複雜度理論中常見而且有一定準確性的假設，它在實踐中卻不總是真的，原因包括如下幾點：

  • 它忽略了常數因子。一個需要101000n時間的問題是屬於P的（它是線性時間的），但是事實上完全無法處理。一個需要10-100002n時間的問題不是在P中的（它是指數時間的），但是對於n取值直到幾千時還是很容易處理的。
  • 它忽略了指數的大小。一個時間複雜度n1000屬於P，但是很難對付。已經證明在P中存在需要任意大的指數的問題（參看時間等級定理）。一個時間複雜度2n/1000的問題不屬於P，但對與n直到幾千還是容易應對的。
  • 它只考慮了最壞情況的複雜度。可能現實世界中的有些問題在多數時候可以在時間n中解決，但是很偶爾你會看到需要時間2n的特例。這個問題可能有一個多項式的平均時間，但最壞情況是指數式的，所以該問題不屬於P。
  • 它只考慮確定性解。可能有一個問題你可以很快解決如果你可以接受出現一點誤差的可能，但是確保正確的答案會難得多。這個問題不會屬於P，雖然事實上它可以很快求解。這實際上是解決屬於NP而還不知道是否屬於P的問題的一個辦法（參看RP，BPP）。
  • 新的諸如量子電腦這樣的計算模型，可能可以快速的解決一些尚未知道是否屬於P的問題；但是，沒有一個它們已知能夠解決的問題是NP完全的。不過，必須注意到P和NP問題的定義是採用像圖靈機這樣的經典計算模型的術語表述的。所以，即使一個量子電腦演算法被發現能夠有效的解決一個NP完全問題，我們只是有了一個快速解決困難問題的實際方法，而不是數學類P和NP相等的證明。

電腦科學家為什麼認為P ≠ NP？

多數電腦科學家相信P≠NP。該信念的一個關鍵原因是經過數十年對這些問題的研究，沒有人能夠發現一個NP完全問題的多項式時間演算法。而且，人們早在NP完全的概念出現前就開始尋求這些演算法了（Karp的21個NP完全問題，在最早發現的一批中，有所有著名的已經存在的問題）。進一步地，P = NP這樣的結果會導致很多驚人的結果，那些結果現在被相信是不成立的，例如NP = 反NP和P = PH。

也有這樣論證的：問題較難求解（NP）但容易驗證（P），這和我們日常經驗是相符的。

從另一方面講，某些研究者認為我們過於相信P ≠ NP，而應該也去尋找P = NP的證明。例如，2002年中有這樣的聲明：[2]

傾向P≠NP的主要論據是在窮盡搜尋的領域完全沒有本質進展。也就是說，以我的觀點，一個很弱的論據。演算法的空間是很大的，而我們只是在開始探索的起點。[ . . . ] 費馬最後定理的解決也顯示非常簡單的[sic]問題可能只有用非常深刻的理論才能解決。
—摩西·瓦迪（Moshe Vardi），萊斯大學
過分依賴某種投機的猜測不是規劃研究的一個好的導引。我們必須總是嘗試每個問題的兩個方向。偏見可能導致著名的數學家無法解決答案和他們的預計相反的著名問題，雖然他們發展了所有所需的方法。
—Anil Nerode, 康奈爾大學

關於證明的難度的結果

雖然百萬美元的獎金和投入巨大卻沒有實質性結果的大量研究足以顯示該問題是困難的，但是還有一些形式化的結果證明為什麼該問題可能很難解決。

最常被參照的結果之一是設計神諭。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題，例如判定一個給定的數是否為質數，可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機器，是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題？結果是，依賴於機器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論帶來的後果是，任何可以通過修改來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。

如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明，給定一個特定的可信的假設，在某種意義下「自然」的證明不能解決P = NP問題。[3] 這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨着更多這類定理得到證明，該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規避。

這實際上也是為什麼NP完全問題有用的原因：若對於NP完全問題存在有一個多項式時間演算法，或者沒有一個這樣的演算法，這將能用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。

多項式時間演算法

沒人知道多項式時間演算法對於NP完全問題是否存在。但是如果這樣的演算法存在，我們已經知道其中的一些了！例如，下面的演算法正確的接受了一個NP完全語言，但是沒人知道通常它需要多久執行。它是一個多項式時間演算法若且唯若P = NP。 

   // 接受NP完全语言的一个算法子集和。
   //
   // 这是一个多项式时间算法当且仅当P=NP。
   //
   // “多项式时间”表示它在多项式时间内返回“是”，若
   // 结果是“是”，否则永远运行。
   //
   // 输入：S = 一个自然数的有限集
   // 输出："是"如果某个S的子集加起来等于0。
   //         否则，它永远运行没有输出。
   // 注意:  "程序数P"是你将一个整数P写为二进制，然后
   //         将位串考虑为一个程序。
   //         每个可能的程序都可以这样产生，
   //         虽然多数什么也不做因为有语法错误。
   //         

   FOR N = 1...infinity
       FOR P = 1...N
           以S为输入运行程序数P N步
           IF程序输出一个不同的整数的列表
               AND所有整数都在S中
               AND整数的和为0

           THEN
               OUTPUT "是"并 停机

若P = NP，則這是一個接受一個NP完全語言的多項式時間演算法。「接受」表示它在多項式時間內給出「是」的答案，但允許在答案是「否」的時候永遠執行。

可能我們想要「解決」子集和問題，而不是僅僅「接受」子集和語言。這表示我們想要它總是停機並返回一個「是」或「否」的答案。是否存在任何可能在多項式時間內解決這個問題的演算法？沒有人知道。但是如果這樣的演算法存在，那麼我們已經知道其中的一些了！只要將上面的演算法中的IF陳述式替換成下面的陳述式： 

           IF程序输出一个完整的数学证明
               AND证明的每一步合法
               AND结论是S确实有（或者没有）一个和为0的子集
           THEN
               OUTPUT "是"（或者"不是"如果那被证明了）并停机

邏輯表述

P=NP問題可以用邏輯命題的特定類的可表達性的術語來重新表述。所有P中的語言可以用一階邏輯加上最小不動點操作（實際上，這允許了遞歸函數的定義）來表達。類似地，NP是可以用存在性二階邏輯來表達—也就是，在關係、函數、和子集上排除了全稱量詞的二階邏輯。多項式等級，PH中的語言對應與所有的二階邏輯。這樣，「P是NP的真子集嗎」這樣的問題可以表述為「是否存在性二階邏輯能夠表達帶最小不動點操作的一階邏輯的所不能表達的語言？」

花絮

普林斯頓大學電腦系樓將二進制代碼表述的「P=NP?」問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示「P=NP！」。

康奈爾大學的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等於NP的證明：

反證法。設 P = NP。令 y 為一個 P = NP 的證明。證明y可以用一個合格的電腦科學家在多項式時間內驗證，我們認定這樣的科學家的存在性為真。但是，因為P = NP，該證明 y 可以在多項式時間內由這樣的科學家發現。但是這樣的發現還沒有發生（雖然這樣的科學家試圖發現這樣的一個證明），我們得到了矛盾。

參考資料

參見條目

外部連結

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